Τετράγωνο αθροίσματος και τετράγωνο διαφοράς

Στα μαθηματικά, το τετράγωνο αθροίσματος αναφέρεται στην ύψωση ενός αθροίσματος δύο αριθμών στο τετράγωνο, δηλαδή μία έκφραση της μορφής

$(a+b)^{2}=(a+b)\cdot (a+b)$,

συνήθως για πραγματικούς αριθμούς $a,b$. Η ταυτότητα του τετραγώνου του αθροίσματος λέει ότι

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$.

Το τετράγωνο διαφοράς δύο αριθμών αναφέρεται στην ύψωση της διαφοράς δύο αριθμών στο τετράγωνο, δηλαδή μία έκφραση της μορφής

$(a-b)^{2}=(a-b)\cdot (a-b)$.

Η ταυτότητα του τετραγώνου της διαφοράς λέει ότι

$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$.

Οι δύο ταυτότητες εμφανίζονται ως Πρότασεις 4 και 7 στο Βιβλίο 2 στα Στοιχεία του Ευκλείδη.

Απόδειξη

Αλγεβρική απόδειξη  

Ξεκινώντας από τον ορισμό του τετραγώνου

$(a+b)\cdot (a+b)=a^{2}+ab+ba+b^{2}$.

Από την αντιμεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού έχουμε ότι

$(a+b)\cdot (a+b)=a^{2}+ab+ab+b^{2}$.

Μαζεύοντας τους όμοιους όρους, μας δίνει την ζητούμενη ταυτότητα

$(a+b)\cdot (a+b)=a^{2}+2ab+b^{2}$.

Θέτοντας $b'=-b$ στην ταυτότητα για το άθροισμα, λαμβάνουμε την ταυτότητα για την διαφορά

$(a+(-b))^{2}=a^{2}+2a(-b)+(-b)^{2}$

Από τις ιδιότητες του αντίθετου αριθμού έχουμε ότι

$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+(-b)^{2}$,

που είναι η ζητούμενη ταυτότητα.

Γεωμετρική απόδειξη (για το άθροισμα)  

Θεωρούμε ένα τετράγωνο πλευράς $a+b$. Το χωρίζουμε σε τέσσερα ορθογώνια όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, τότε το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων ισούται με το εμβαδόν ολόκληρου του τετραγώνου:

${\color {orange}(a+b)^{2}}={\color {green}a^{2}}+{\color {blue}2ab}+{\color {red}b^{2}}$.

Οπτική απόδειξη για την ταυτότητα για το τετράγωνο του αθροίσματος.

Γεωμετρική απόδειξη (για τη διαφορά)  

Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι $a\geq b$. Θεωρούμε ένα τετράγωνο πλευράς $a-b$. Το επεικτίνουμε σε τετράγωνο πλευράς $a$ και το χωρίζουμε σε τέσσερα ορθογώνια όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Τότε τα εμβαδά αυτών ορθογωνίων ικανοποιούν την εξής σχέση:

${\color {orange}(a-b)^{2}}={\color {green}a^{2}}-{\color {blue}2ab}+{\color {red}b^{2}}$.

Οπτική απόδειξη για την ταυτότητα του τετραγώνου της διαφοράς

Σημείωση: Τα μεσαία ορθογώνια είναι επικαλυπτόμενα.

Εφαρμογές

Πολική ταυτότητα

Άμεση συνέπεια των παραπάνω ταυτοτήτων είναι η λεγόμενη πολική ταυτότητα, η οποία εμφανίζεται ως Πρόταση 8 στο Βιβλίο 2 στα Στοιχεία:

$ab={\frac {(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}{4}}$.

Απόδειξη  

${\frac {(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}{4}}={\frac {({\cancel {a^{2}}}+2ab+{\cancel {b^{2}}})-({\cancel {a^{2}}}-2ab+{\cancel {b^{2}}})}{4}}={\frac {2ab+2ab}{4}}={\frac {4ab}{4}}=ab$.

Ανισότητες

Αφού το τετράγωνο ενός πραγματικού αριθμού είναι μη-αρνητικός αριθμός, λαμβάνουμε ότι

$a^{2}+b^{2}\geq 2ab$.

Αυτή η ανισότητα χρησιμεύει στην απόδειξη διαφόρων άλλων.

Παράδειγμα 1ο (ΑΜ-ΓΜ)

Αυτή η ανισότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην απόδειξη ότι ο αριθμητικός μέσος δύο αριθμών είναι μεγαλύτερος ή ίσος από τον γεωμετρικό μέσο, δηλαδή

${\frac {a+b}{2}}\geq {\sqrt {ab}}$.

Η απόδειξη προκύπτει θέτοντας $a'={\sqrt {a}}$ και $b'={\sqrt {b}}$.

Παράδειγμα 2ο

Όταν $a\neq 0$, θέτοντας $b=1/a$, η ανισότητα δίνει ότι

$a+{\frac {1}{a}}\geq 2$.

Γενίκευση

Όταν λαβάνουμε το άθροισμα $n$ όρων τότε η ταυτότητα γίνεται

$(a_{1}+a_{2}+\ldots a_{n})^{2}=(a_{1}^{2}+\ldots +a_{n}^{2})+2(a_{1}a_{2}+a_{1}a_{3}+\ldots a_{1}a_{n})+2(a_{2}a_{3}+\ldots +a_{2}a_{n})+\ldots +2a_{n-1}a_{n}$.

Για παράδειγμα, όταν $n=3$ έχουμε ότι

$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$.

Δείτε επίσης

• Διαφορά τετραγώνων
• Άθροισμα δύο κύβων