Ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου

Στα μαθηματικά, η ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου λέει ότι ο αριθμητικός μέσος $n$ μη-αρνητικών πραγματικών αριθμών είναι μεγαλύτερος ή ίσος από τον γεωμετρικό μέσο αυτών των αριθμών. Για παράδειγμα, για τρεις αριθμούς $a,b,c\geq 0$ ,

{\frac {a+b+c}{3}}\geq {\sqrt[{3}]{abc}}

.

Στην γενική περίπτωση για $n$ μη-αρνητικούς αριθμούς $x_{1},\ldots ,x_{n}$ , ισχύει ότι^[1]^:2-11^[2]^:19-36^[3]^[4]^[5]^:32-33^[6]^:440-443^[7]^:71-118

{\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n}}}.

Η ανισότητα αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί ώστε να αποδείξει αρκετές άλλες ανισότητες στα μαθηματικά και βρίσκει εφαρμογές στην ανάλυση αλγορίθμων και στην θεωρία βελτιστοποίησης. Η ανισότητα αναφέρεται ως ανισότητα ΑΜ-ΓΜ από την σύντμηση των αρχικών του αριθμητικού μέσου και του γεωμετρικού μέσου.

Αποδείξεις

Περίπτωση n = 2

Θα αποδείξουμε την την περίπτωση $n=2$ , όπου η ανισότητα έχει την μορφή

{\frac {a+b}{2}}\geq {\sqrt {ab}}

.

Αλγεβρική απόδειξη

Με απλές αναδιατάξεις,

{\begin{aligned}{\frac {a+b}{2}}&\geq {\sqrt {ab}}\Leftrightarrow \\a+b-2{\sqrt {ab}}&\geq 0\Leftrightarrow \\{\sqrt {a}}^{2}-2{\sqrt {ab}}+{\sqrt {b}}^{2}&\geq 0\Leftrightarrow \\({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}})^{2}&\geq 0\end{aligned}}

,

η οποία ισχύει, καθώς για κάθε πραγματικό αριθμό το τετράγωνό του είναι μη-αρνητικό.

Γεωμετρική απόδειξη

Θεωρούμε το ευθύγραμμο τμήμα $\mathrm {AB}$ μήκους $a+b$ και το σημείο $\mathrm {C}$ αυτού, ώστε $|\mathrm {AC} |=a$ (και $|\mathrm {CB} |=b$ ). Θεωρούμε επίσης το μέσο αυτού $\mathrm {M}$ και τον κύκλο με κέντρο αυτό το σημείο.

Επίσης θεωρούμε $\mathrm {D}$ ένα από τα σημεία που τέμνει η κάθετη από τo $\mathrm {M}$ στο $\mathrm {AB}$ . Τότε το τρίγωνο $\mathrm {ABD}$ είναι ορθογώνιο καθώς βλέπει στην διάμετρο και $|\mathrm {MD} |={\tfrac {a+b}{2}}$ (δηλαδή ίσο σε μήκος με τον αριθμητικό μέσο).

Προχωράμε θεωρώντας $E$ το σημείο που τέμνει η κάθετη από το $\mathrm {C}$ τον κύκλο στην πλευρά του $\mathrm {D}$ . Από την ομοιότητα των τριγώνων $\mathrm {AEC}$ και $\mathrm {ECB}$ , προκύπτει ότι

{\frac {|\mathrm {EC} |}{|\mathrm {BC} |}}={\frac {|\mathrm {AC} |}{|\mathrm {EC} |}}\Rightarrow |\mathrm {EC} |={\sqrt {|\mathrm {AC} |\cdot |\mathrm {BC} |}}={\sqrt {ab}}

,

δηλαδή το $\mathrm {EC}$ είναι ίσο σε μήκος με τον γεωμετρικό μέσο. Συνεπώς, έπεται η ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου από το γεγονός ότι ${\sqrt {|\mathrm {EC} |}}\leq {\sqrt {|\mathrm {ED} |}}$ .

Γενική περίπτωση

Με ανισότητα Γένσεν

Η λογαριθμική συνάρτηση $f(x)=\ln(x)$ είναι κοίλη για $x\in (0,\infty )$ , καθώς

f'(x)={\frac {1}{x}}\quad

και

f''(x)=-{\frac {1}{x^{2}}}<0

.

Επομένως, από την ανισότητα Γένσεν, έχουμε ότι

\ln \left({\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)\geq {\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}\ln(x_{i})

.

Από τις ιδιότητες της λογαριθμικής συνάρτησης $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$ και $a\ln(b)=\ln(b^{a})$ , έχουμε ότι

\ln \left({\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)\geq {\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}\ln(x_{i})=\ln \left(\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{1/n}\right)

.

Επειδή η συνάρτηση $\ln(x)$ είναι αυστηρώς μονότονη, έχουμε ότι

{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}x_{i}\geq \left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{1/n}

,

που είναι και η ζητούμενη ανισότητα. Επίσης, προκύπτει ότι η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν $x_{1}=\ldots =x_{n}$ .

Με ακρότατα συνάρτησης

Θα αποδείξουμε με την μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής ότι η ανισότητα ισχύει.

Βασική Περίπτωση: Για $n=1$ , η ανισότητα είναι προφανής.

Επαγωγική περίπτωση: Έστω ότι η ανισότητα ισχύει για οποιαδήποτε $x_{1},\ldots ,x_{n}$ , δηλαδή

{\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n}}}

.

Τότε, θα αποδείξουμε ότι ισχύει και για $x_{1},\ldots ,x_{n+1}$ . Θεωρούμε την συνάρτηση

f(t)={\frac {1}{n+1}}\cdot \sum _{i=1}^{n+1}x_{i}+{\frac {t}{n+1}}-{\sqrt[{n+1}]{x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n}}}.

Θα δείξουμε ότι για κάθε $t>0$ η συνάρτηση $f(t)\geq 0$ και επομένως η ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου ισχύει και για $n+1$ μεταβλητές. Η παράγωγος της $f$ δίνεται από την

f'(t)={\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+1}}\cdot {\sqrt[{n+1}]{x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n}}}\cdot t^{1/(n+1)-1}.

Η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης δίνεται από το $t^{*}$ με

f'(t^{*})=0\Rightarrow (t^{*})^{n/(n+1)}=(x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n})^{1/(n+1)}\Rightarrow t^{*}=(x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n})^{1/n}

.

Τότε

{\begin{aligned}f(t^{*})&={\frac {1}{n+1}}\cdot \sum _{i=1}^{n}x_{i}+{\frac {(x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n})^{1/n}}{n+1}}-(x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n})^{{\frac {1}{n+1}}\cdot (1+{\frac {1}{n}})}\\&={\frac {1}{n+1}}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}-n\cdot (x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n})^{1/n}\right)\\&\geq 0,\end{aligned}}

χρησιμοποιώντας στην τελευταία ανίσωση την επαγωγική υπόθεση ότι $\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}\geq n\cdot (x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n})^{1/n}$ . Από την μαθηματική επαγωγή ισχύει για όλα τα $n$ .

Με την ανισότητα της αναδιάταξης

Θα χρησιμοποιήσουμε την ανισότητα της αναδιάταξης για να αποδείξουμε την ΑΜ-ΓΜ. Η ανισότητα ΑΜ-ΓΜ είναι ομογενής, δηλαδή αν θεωρήσουμε $b_{i}=\lambda a_{i}$ για οποιαδήποτε σταθερά $\lambda >0$ , τότε η μορφή της ανισότητας δεν αλλάζει, δηλαδή,

{\frac {b_{1}+\ldots +b_{n}}{n}}={\frac {\lambda a_{1}+\ldots +\lambda a_{n}}{n}}=\lambda \cdot {\frac {a_{1}+\ldots +a_{n}}{n}},\quad

και

\quad {\sqrt[{n}]{b_{1}\cdot \ldots \cdot b_{n}}}={\sqrt[{n}]{(\lambda a_{1})\cdot \ldots \cdot (\lambda a_{n})}}=\lambda \cdot {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{n}}}.

Επομένως,

{\frac {a_{1}+\ldots +a_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{a_{1}+\ldots +a_{n}}}

αν και μόνο αν

{\frac {b_{1}+\ldots +b_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{b_{1}+\ldots +b_{n}}}

.

Συνεπώς, χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε $a_{1}\leq \ldots \leq a_{n}$ με γινόμενο $a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{n}=1$ . Θεωρούμε επίσης

{\begin{aligned}x_{1}&=a_{1},\\x_{2}&=a_{1}a_{2},\\&\vdots \\x_{n}&=a_{1}\cdots \ldots \cdot a_{n}=1.\end{aligned}}

Από την ανισότητα της αναδιάταξης

a_{1}+\ldots +a_{n}={\frac {x_{1}}{x_{n}}}+{\frac {x_{2}}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {x_{n}}{x_{n-1}}}\geq {\frac {x_{1}}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {x_{n}}{x_{n}}}=n

.

Δηλαδή,

{\frac {a_{1}+\ldots +a_{n}}{n}}\geq 1={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{n}}}.

Εφαρμογές

Απόδειξη της ανισότητας γεωμετρικού-αρμονικού μέσου

Θέτοντας $x_{i}={\tfrac {1}{y_{i}}}$ για κάθε $1\leq i\leq n$ στην ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου λαμβάνουμε ότι

{\frac {{\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{{\frac {1}{x_{1}}}\cdot \ldots \cdot {\frac {1}{x_{n}}}}}

.

Αναδιατάσσοντας τα δύο μέλη λαμβάνουμε ότι

{\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n}}}\geq {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}},

δηλαδή ο αρμονικός μέσος είναι μικρότερος ή ίσος του γεωμετρικού, με ισότητα αν και μόνο αν $x_{1}=x_{2}=\ldots =x_{n}$ .

Απόδειξη της ανισότητας Νέσμπιττ

Η ανισότητα Νέσμπιττ λέει ότι για κάθε θετικούς πραγματικούς αριθμούς $a,b,c$ :

{\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {3}{2}}.

Απόδειξη

Θεωρούμε $x=b+c$ , $y=a+c$ και $z=a+b$ . Τότε, έχουμε ότι

a={\tfrac {1}{2}}\cdot (y+z-x)

,

b={\tfrac {1}{2}}\cdot (x+z-y)

, και

c={\tfrac {1}{2}}\cdot (x+y-z)

.

Επομένως, η ανισότητα Νέσμπιττ, γράφεται ως εξής:

{\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {y+z-x}{x}}+{\frac {x+z-y}{y}}+{\frac {x+y-z}{z}}\right)\geq {\frac {3}{2}}.

Αναδιατάσσοντας τους όρους, έχουμε την ισοδύναμη ανισότητα

{\frac {y}{x}}+{\frac {z}{x}}-1+{\frac {x}{y}}+{\frac {z}{y}}-1+{\frac {x}{z}}+{\frac {y}{z}}-1\geq 3,

η οποία είναι ισοδύναμη με την

{\frac {y}{x}}+{\frac {x}{y}}+{\frac {z}{y}}+{\frac {y}{z}}+{\frac {z}{x}}+{\frac {x}{z}}\geq 6.

Η ανισότητα αυτή προκύπτει από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου για $6$ όρους,

{\frac {y}{x}}+{\frac {x}{y}}+{\frac {z}{y}}+{\frac {y}{z}}+{\frac {z}{x}}+{\frac {x}{z}}\geq 6\cdot {\sqrt[{6}]{{\frac {y}{x}}\cdot {\frac {x}{y}}\cdot {\frac {z}{y}}\cdot {\frac {y}{z}}\cdot {\frac {z}{x}}\cdot {\frac {x}{z}}}}=6

.

Δείτε επίσης

Παραπομπές

↑ Venkatachala, B. J. (2018). Inequalities : an approach through problems (Second έκδοση). Singapore. ISBN 9789811087325.
↑ Steele, J. Michael (2004). The Cauchy-Schwarz master class : an introduction to the art of mathematical inequalities. Cambridge, UK. ISBN 9780511817106.
↑ Στεργίου,, Χ.· Σκομπρης, Ν. (2005). Αλγεβρικές Ανισότητες. Σαββάλας. ISBN 9789604235582.
↑ Στεργίου, Μπάμπης (2017). «Εισαγωγή στις ανισότητες» (PDF). Ανακτήθηκε στις 2 Οκτωβρίου 2022.
↑ Κολουντζάκης, Μιχαήλ· Παπαχριστόδουλος, Χρήστος (2015). Διακριτά Μαθηματικά. Αθήνα: Κάλλιπος, Ανοικτές Ακαδημαϊκές Εκδόσεις. ISBN 978-960-603-361-2.
↑ Mitrinović, D. S.· Pečarić, J. E.· Fink, A. M. (1993). Classical and new inequalities in analysis. Dordrecht: Kluwer Academic. ISBN 978-0-7923-2064-7.
↑ Bullen, P. S. (2003). Handbook of means and their inequalities. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 9781402015229.

Αυτό το μαθηματικό λήμμα χρειάζεται επέκταση. Μπορείτε να βοηθήσετε την Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το.

[1] Venkatachala, B. J. (2018). Inequalities : an approach through problems (Second έκδοση). Singapore. ISBN 9789811087325.

[2] Steele, J. Michael (2004). The Cauchy-Schwarz master class : an introduction to the art of mathematical inequalities. Cambridge, UK. ISBN 9780511817106.

[3] Στεργίου,, Χ.· Σκομπρης, Ν. (2005). Αλγεβρικές Ανισότητες. Σαββάλας. ISBN 9789604235582.

[4] Στεργίου, Μπάμπης (2017). «Εισαγωγή στις ανισότητες» (PDF). Ανακτήθηκε στις 2 Οκτωβρίου 2022.

[5] Κολουντζάκης, Μιχαήλ· Παπαχριστόδουλος, Χρήστος (2015). Διακριτά Μαθηματικά. Αθήνα: Κάλλιπος, Ανοικτές Ακαδημαϊκές Εκδόσεις. ISBN 978-960-603-361-2.

[6] Mitrinović, D. S.· Pečarić, J. E.· Fink, A. M. (1993). Classical and new inequalities in analysis. Dordrecht: Kluwer Academic. ISBN 978-0-7923-2064-7.

[7] Bullen, P. S. (2003). Handbook of means and their inequalities. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 9781402015229.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]