Άθροισμα δύο κύβων

Στα μαθηματικά, το άθροισμα δύο κύβων είναι το άθροισμα ενός αριθμού που είναι κύβος με έναν άλλον κύβο.

Παραγοντοποίηση

Το άθροισμα δύο κύβων $x^{3}$ και $y^{3}$ μπορεί να γραφτεί ως

$x^{3}+y^{3}=(x+y)\cdot (x^{2}-xy+y^{2})$.

Αλγεβρική απόδειξη  

Ξεκινώντας από το δεξί μέλος, χρησιμοποιώντας την επιμεριστική ιδιότητα έχουμε ότι

$(x+y)\cdot (x^{2}-xy+y^{2})=x^{3}-x^{2}y+xy^{2}+yx^{2}-yxy+y^{3}.$

Χρησιμοποιώντας την αντιμεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού έχουμε ότι

$(x+y)\cdot (x^{2}-xy+y^{2})=x^{3}-x^{2}y+xy^{2}+yx^{2}-xy^{2}+y^{3}.$

Από την αντιμεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης λαμβάνουμε ότι

$(x+y)\cdot (x^{2}-xy+y^{2})=x^{3}+({\color {red}{yx^{2}}}-{\color {red}{x^{2}y}})+({\color {blue}{xy^{2}}}-{\color {blue}{xy^{2}}})+y^{3}.$

Από τον ορισμό του αντίθετου αριθμού

${\begin{aligned}(x+y)\cdot (x^{2}-xy+y^{2})&=x^{3}+({\cancel {\color {red}{yx^{2}}}}-{\cancel {\color {red}{x^{2}y}}})+({\cancel {\color {blue}{xy^{2}}}}-{\cancel {\color {blue}{xy^{2}}}})+y^{3}\\&=x^{3}+0+0+y^{3}\end{aligned}}$

Τέλος από τον ορισμό του ουδέτερου στοιχείου

$(x+y)\cdot (x^{2}-xy+y^{2})=x^{3}+y^{3},$

που μας δίνει την ταυτότητα.

Οπτική απόδειξη  

Παρακάτω δίνεται μία γεωμετρική απόδειξη για την παραγοντοποίηση, που προκύπτει από δύο διαφορετικές εκφράσεις για τον όγκο ενός κύβου πλευράς $a+b$, συναρτήσει των έξη παραλληλεπιπέδων που σχηματίζονται.

Οπτική απόδειξη για την παραγοντοποίηση του αθροίσματος (και της διαφοράς) κύβων.

Διαφορά κύβων

Θέτοντας $y'=-y$ στον τύπο για το άθροισμα κύβων λαμβάνουμε ότι

$x^{3}+(-y)^{3}=(x+(-y))\cdot (x^{2}-x\cdot (-y)+(-y)^{2}),$

ή ισοδύναμα

$x^{3}-y^{3}=(x-y)\cdot (x^{2}+xy+y^{2}).$

Θεωρητικές εφαρμογές

Ακέραιοι εκφράσιμοι ως το άθροισμα κύβων

Στην θεωρία αριθμών από την εποχή του Διόφαντου έχει μελετηθεί ποιοι ακέραιοι αριθμοί $z\in \mathbb {Z}$ μπορούν να γραφούν ως το άθροισμα δύο κύβων.

Αριθμοί των Ταξί

Οι αριθμοί των Ταξί $\operatorname {Ta} (n)$ είναι ο μικρότερος αριθμός που μπορεί να εκφραστεί ως το άθροισμα $n$ κύβων. Για παράδειγμα, to $1729$, μπορεί να γραφτεί ως

$1729=1^{2}+12^{3}=9^{3}+10^{3}$,

και είναι ο μικρότερος τέτοιος αριθμός για $n=2$. Για $n=3$, ο μικρότερος τέτοιος αριθμός είναι ο $87.539.319$, που μπορεί να γραφτεί ως

$87.539.319=436^{3}+167^{3}=423^{3}+228^{3}=414^{3}+255^{3}$.

Τέλειες δυνάμεις

Στην θεωρία αριθμών έχει μελετηθεί ποια αθροίσματα κύβων είναι τέλειες δυνάμεις, δηλαδή για ποιους ακεραίους $x$, $y$ και $z$ ισχύει ότι

$x^{3}+y^{3}=z^{p}$,

για κάποιον φυσικό αριθμό $p$.