Βιβλίο των Λημμάτων

Βιβλίο των Λημμάτων

Η πρώτη σελίδα του Βιβλίου των Λημμάτων, όπως φαίνεται στο Βιβλίο των Έργων του Αρχιμήδη (1897).
Συγγραφέας	Αρχιμήδης
Γλώσσα	Αρχαία ελληνικά
Θέμα	Ευκλείδεια γεωμετρία
δεδομένα ()

Το Βιβλίο των Λημμάτων ή Βιβλίο των Υποθέσεων (αραβικά: Maʾkhūdhāt Mansūba ilā Arshimīdis) είναι ένα βιβλίο που αποδίδεται στον Αρχιμήδη από τον Θαμπίτ Ιμπν Κούρρα, αν και η συγγραφή του βιβλίου είναι αμφισβητήσιμη. Περιέχει δεκαπέντε λήμματα για τους κύκλους στην γεωμετρία.

Ιστορία

Μεταφράσεις

Το Βιβλίο των Λημμάτων παρουσιάστηκε για πρώτη φορά στα αραβικά από τον Θάμπιτ ιμπν Κούρα, ο οποίος απέδωσε το έργο στον Αρχιμήδη. Μια μετάφραση από τα αραβικά στα λατινικά από τον Τζον Γκριβς και αναθεωρημένη από τον Σάμιουελ Φόστερ (περίπου το 1650) δημοσιεύθηκε το 1659 ως Λήμματα του Αρχιμήδη. Μια άλλη λατινική μετάφραση από τον Αβραάμ Εκτσελένσις και με την επιμέλεια του Τζιοβάνι Α. Μπορέλι δημοσιεύθηκε το 1661 με το όνομα Liber Assumptorum. Ο Τ. Χιθ (Heath) μετέφρασε το λατινικό έργο του Χάιμπουργκ στα αγγλικά με τίτλο " Οι εργασίες του Αρχιμήδη". Ενα αντίγραφο της αραβικής μετάφρασης του Θάμπιτ ιμπν Κούρα που ανακαλύφθηκε πιο πρόσφατα μεταφράστηκε στα αγγλικά από τον Εμρέ Κοσκούν το 2018 .

Συγγραφή

Η αρχική συγγραφή του Βιβλίου των Λημμάτων έχει αμφισβητηθεί επειδή στην τέταρτη πρόταση του βιβλίου αναφέρεται ο Αρχιμήδης σε τρίτο πρόσωπο ; ωστόσο, έχει προταθεί ότι μπορεί να έχει προστεθεί από τον μεταφραστή. Μια άλλη πιθανότητα είναι ότι το Βιβλίο των Λημμάτων μπορεί να είναι μια συλλογή προτάσεων του Αρχιμήδη που αργότερα συλλέχθηκε από κάποιον Έλληνα συγγραφέα.

Νέα γεωμετρικά σχήματα

Δρέπανος του Αρχιμήδη

Η άρβυλος είναι η σκιασμένη περιοχή (γκρι).

Στην τέταρτη πρόταση του βιβλίου του, ο Αρχιμήδης εισήγαγε ένα γεωμετρικό σχήμα που το ονόμασε δρέπανο (επειδή μοιάζει μαχαίρι που χρησιμοποιούσαν εκείνη την εποχή οι υποδηματοποιοί)

Έστω ${\rm {AB}}$ η διάμετρος ενός ημικυκλίου και ${\rm {N}}$ οποιοδήποτε σημείο επί του ${\rm {AB}}$. Θεωρούμε τα ημικύκλια βρίσκονται εσωτερικά στο πρώτο ημικύκλιο και έχουν διαμέτρους ${\rm {AN}}$, ${\rm {BN}}$. Το σχήμα που περιλαμβάνεται μεταξύ των περιφερειών των τριών ημικυκλίων είναι "αυτό που ο Αρχιμήδης ονόμαζε δρέπανο"- και το εμβαδόν του είναι ίσο με αυτό του κύκλου διαμέτρου ${\rm {PN}}$, όπου ${\rm {P}}$ το σημείο που η κάθετη από το ${\rm {N}}$ τέμνει τον κύκλο.

Το σχήμα χρησιμοποιείται στα λήμματα 4-8. Στο λήμμα 5, ο Αρχιμήδης εισάγει τους δίδυμους κύκλους, και στο λήμμα 8, χρησιμοποιεί αυτό που θα ήταν η αλυσίδα του Πάππου, η οποία εισήχθη επίσημα από τον Πάππο της Αλεξάνδρειας.

Σαλινόν

Το σαλινόν είναι η πορτοκαλί σκιασμένη περιοχή και έχει εμβαδόν ίσο με τον πράσινο κύκλο.

Ο Αρχιμήδης εισήγαγε για πρώτη φορά το σαλινόν στην πρόταση 14 του βιβλίου του:

Έστω ένα ημικύκλιο με διάμετρο το ${\rm {AB}}$ και έστω ${\rm {A\Gamma }}$, ${\rm {B\Delta }}$ δύο ευθύγραμμα τμήματα με ίσα μήκη. Χρησιμοποιώντας τα ${\rm {A\Gamma }}$, ${\rm {B\Delta }}$ ως διαμέτρους θεωρήστε ημικύκλια στην ίδια μεριά με το αρχικό, και με το ${\rm {\Delta E}}$ ως διάμετρο θεωρήστε ημικύκλιο στην αντίθετη πλευρά. Έστω ότι η κάθετος στην ${\rm {AB}}$ που διέρχεται από το ${\rm {O}}$, το κέντρο του πρώτου ημικυκλίου, συναντά τα απέναντι ημικύκλια στα ${\rm {E}}$ και ${\rm {Z}}$ αντίστοιχα. Τότε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις περιφέρειες όλων των ημικυκλίων θα είναι ίσο με το εμβαδόν του κύκλου που έχει διάμετρο το ${\rm {EZ}}$.

Ο Αρχιμήδης απέδειξε ότι το σαλίνον και ο κύκλος έχουν ίσο εμβαδόν.

Προτάσεις

1. Αν δύο κύκλοι εφάπτονται στο σημείο Α, και αν οι CD, EF είναι παράλληλες διάμετροι σε αυτούς, η ADF είναι ευθεία γραμμή.
2. Έστω ΑΒ η διάμετρος ενός ημικυκλίου, και έστω ότι οι εφαπτόμενες σε αυτό στο Β και σε οποιοδήποτε άλλο σημείο D σε αυτό συναντώνται στο Τ. Αν τώρα το DE σχεδιαστεί κάθετα στο ΑΒ, και αν τα ΑΤ, DE συναντώνται στο F, τότε DF = FE.
3. Έστω P οποιοδήποτε σημείο σε τμήμα κύκλου του οποίου η βάση είναι το AB, και έστω PN κάθετο στο AB. Ας πάρουμε το D στο AB έτσι ώστε AN = ND. Αν τώρα το PQ είναι ένα τόξο ίσο με το τόξο PA, και το BQ ενώνεται, τότε τα BQ, BD θα είναι ίσα.
4. Αν ΑΒ είναι η διάμετρος ενός ημικυκλίου και Ν οποιοδήποτε σημείο στο ΑΒ, και αν ημικύκλια περιγράφονται μέσα στο πρώτο ημικύκλιο και έχουν ΑΝ, ΒΝ ως διαμέτρους αντίστοιχα, το σχήμα που περιλαμβάνεται μεταξύ των περιφερειών των τριών ημικυκλίων είναι «αυτό που ο Αρχιμήδης ονόμασε αρβηλός»- και το εμβαδόν του είναι ίσο με τον κύκλο στο PN ως διάμετρο, όπου το PN είναι κάθετο στο ΑΒ και συναντά το αρχικό ημικύκλιο στο P.
5. Έστω ΑΒ η διάμετρος ενός ημικυκλίου, C οποιοδήποτε σημείο του ΑΒ και CD κάθετο σε αυτό, και έστω ημικύκλια που περιγράφονται μέσα στο πρώτο ημικύκλιο και έχουν διαμέτρους AC, CB. Τότε αν σχεδιαστούν δύο κύκλοι που αγγίζουν το CD σε διαφορετικές πλευρές και ο καθένας αγγίζει δύο από τα ημικύκλια, οι κύκλοι που σχεδιάζονται έτσι θα είναι ίσοι.
6. Έστω ότι η AB, η διάμετρος ενός ημικυκλίου, διαιρείται στο C έτσι ώστε ΑC = 3/2 × CB [ή σε οποιαδήποτε αναλογία]. Ας περιγράψουμε ημικύκλια μέσα στο πρώτο ημικύκλιο και στα AC, CB ως διαμέτρους, και ας υποθέσουμε έναν κύκλο που σχεδιάζεται και αγγίζει και τα τρία ημικύκλια. Αν GH είναι η διάμετρος αυτού του κύκλου, να βρεθεί η σχέση μεταξύ GH και AB.
7. Αν κύκλοι περιγράφονται γύρω από ένα τετράγωνο και εγγράφονται σε αυτό, ο περιγεγραμμένος κύκλος είναι διπλάσιος του εγγεγραμμένου τετραγώνου.
8. Εάν ΑΒ είναι οποιαδήποτε χορδή ενός κύκλου του οποίου το κέντρο είναι το Ο, και αν η ΑΒ παραχθεί στο C έτσι ώστε το BC να είναι ίσο με την ακτίνα- αν περαιτέρω το CO συναντήσει τον κύκλο στο D και παραχθεί να συναντήσει τον κύκλο για δεύτερη φορά στο E, το τόξο AE θα είναι ίσο με το τριπλάσιο του τόξου BD.
9. Αν σε έναν κύκλο δύο χορδές ΑΒ, CD που δεν περνούν από το κέντρο τέμνονται σε ορθές γωνίες, τότε (τόξο ΑD) + (τόξο CB) = (τόξο AC) + (τόξο DB).
10. Ας υποθέσουμε ότι οι TA, TB είναι δύο εφαπτόμενες σε έναν κύκλο, ενώ η TC τον τέμνει. Έστω BD η χορδή που διέρχεται από το B παράλληλα προς το TC, και έστω AD που συναντά το TC στο E. Τότε, αν το EH είναι κάθετο στο BD, θα το διχοτομήσει στο H.
11. Αν δύο χορδές ΑΒ, CD σε έναν κύκλο τέμνονται σε ορθές γωνίες σε ένα σημείο Ο, το οποίο δεν είναι το κέντρο, τότε ΑΟ² + ΒΟ² + CO² + DO² = (διάμετρος)².
12. Εάν ΑΒ είναι η διάμετρος ενός ημικυκλίου και TP, TQ οι εφαπτόμενες σε αυτό από οποιοδήποτε σημείο Τ, και αν ΑQ, ΒΡ είναι ενωμένα που συναντώνται στο R, τότε η TR είναι κάθετη στην ΑΒ.
13. Εάν η διάμετρος ΑΒ ενός κύκλου συναντήσει οποιαδήποτε χορδή CD, που δεν είναι διάμετρος, στο Ε, και αν οι ΑΜ, ΒΝ τραβηχτούν κάθετα στην CD, τότε CN = DM.
14. Έστω ACB ένα ημικύκλιο με διάμετρο την ΑΒ, και έστω AD, BE ίσα μήκη μετρημένα κατά μήκος της ΑΒ από τα Α, Β αντίστοιχα. Στα AD, BE ως διαμέτρους ας περιγράψουμε ημικύκλια στην πλευρά προς το C, και στο DE ως διάμετρο ένα ημικύκλιο στην αντίθετη πλευρά. Έστω ότι η κάθετος στην ΑΒ που διέρχεται από το Ο, το κέντρο του πρώτου ημικυκλίου, συναντά τα απέναντι ημικύκλια στα C, F αντίστοιχα. Τότε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις περιφέρειες όλων των ημικυκλίων θα είναι ίσο με το εμβαδόν του κύκλου στο CF ως διάμετρο.
15. Έστω AB η διάμετρος ενός κύκλου, AC μια πλευρά ενός εγγεγραμμένου κανονικού πενταγώνου, D το μεσαίο σημείο του τόξου AC. Το CD ενώνεται και παράγεται για να συναντήσει το BA που παράγεται στο E, ενώνονται τα AC, DB που συναντώνται στο F και σχεδιάζεται το FM κάθετα στο AB. Τότε EM = (ακτίνα κύκλου).

Δημοσιεύσεις

• Bell, John L. (1999). The Art of the Intelligible: An Elementary Survey of Mathematics in its Conceptual Development. Kluwer. ISBN 0-7923-5972-0. 
• Euclid (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements, Translated from the Text of Heiberg, with Introduction and Commentary. 1 (Books I and II). Μτφρ. Heath, Thomas L. (Reprint of 2nd (1925) έκδοση). Dover.  On-line text at archive.org
• Dimulyo, Sarpono; Habib, Zulfiqar; Sakai, Manabu (2009). «Fair cubic transition between two circles with one circle inside or tangent to the other». Numerical Algorithms 51 (4): 461–476. doi:10.1007/s11075-008-9252-1. Bibcode: 2009NuAlg..51..461D. 
• Harary, G., Tal, A., 2011. The natural 3D spiral. Computer Graphics Forum 30 (2), 237 – 246 Αρχειοθετήθηκε 2015-11-22 στο Wayback Machine..
• Giovanni A. Borelli et al.: Apollonii Pergaei Conicorum Lib. V, VI, VII & Archimedis Assumptorum Liber. IO:Alfonsi Borelli, praefatio ad Lectorem. Ex Typographia Iosephi Cocchini ..., Florenz 1661, S. 379–413 (Titelblatt, S. 379).
• Wang, Yulin; Zhao, Bingyan; Zhang, Luzou; Xu, Jiachuan; Wang, Kanchang; Wang, Shuchun (2004). «Designing fair curves using monotone curvature pieces». Computer Aided Geometric Design 21 (5): 515–527. doi:10.1016/j.cagd.2004.04.001. 
• Kurnosenko, A. (2010). «Applying inversion to construct planar, rational spirals that satisfy two-point G2 Hermite data». Computer Aided Geometric Design 27 (3): 262–280. doi:10.1016/j.cagd.2009.12.004. 
• Thomas L. Heath: The Works of Archimedes. University of Cambridge, Cambridge 1897, Cambridge 1897, S. xxxii, 301–318 (englisch, Titelblatt, Chapter II S. xxxii, S. 301).
• Miura, K.T., 2006. A general equation of aesthetic curves and its self-affinity. Computer-Aided Design and Applications 3 (1–4), 457–464 Αρχειοθετήθηκε 2013-06-28 στο Wayback Machine..

Δείτε επίσης

• Σαλινόν
• Δρέπανος του Αρχιμήδη
• Θαμπίτ Ιμπν Κούρρα

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• “Αρχιμήδους Βιβλίο Λημμάτων” – Πραγματεία του Νικολάου Λ. Κεχρή Ανοιχτή βιβλιοθήκη
• A History of Greek Mathematics, Τόμος 1
• A History of Greek Mathematics: Τόμος 2
• Works of Archimedes, Τόμος 1 ..Book of Lemmas, page 301.
• A Manual of Greek Mathematics..., page 443
• A History of Mathematics.., page 120
• Mathematical Expeditions: Exploring Word Problems Across the Ages... ..Book of Lemmas. page 54...
• Tales of Impossibility: The 2000-Year Quest to Solve the Mathematical. Book of Lemmas Archimedes, page 125..
• The Birth of Mathematics, Updated Edition: Ancient Times to 1300.. page 55....

Παραπομπές

• Katz, Victor J.· Montelle, Clemency (17 Σεπτεμβρίου 2024). Sourcebook in the Mathematics of Ancient Greece and the Eastern Mediterranean. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-20281-5. 
• Gow, Mary (15 Δεκεμβρίου 2014). Archimedes: Genius Mathematician. Enslow Publishing, LLC. ISBN 978-0-7660-6531-4. 
• Xavier University Department of Mathematics and Computer Science. «Archimedes of Syracuse». Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 13 Ιανουαρίου 2016. . Text of propositions 1–3 and 20–24, with commentary.
• http://planetmath.org/ArchimedesCalculus