Περί σφαίρας και κυλίνδρου

Περί σφαίρας και κυλίνδρου
	Μια σελίδα από το Περί σφαίρας και κυλίνδρου στα Λατινικά
Συγγραφέας	Αρχιμήδης
Τίτλος	Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου
Γλώσσα	Αρχαία ελληνικά
Ημερομηνία δημοσίευσης	225 π.Χ.
Τόπος δημοσίευσης	Συρακούσες
Θέμα	σφαίρα; Ευκλείδεια γεωμετρία
	Σχετικά πολυμέσα
	δεδομένα (π • σ • ε )

Το Περί σφαίρας και κυλίνδρου είναι μια πραγματεία του Αρχιμήδη σε δύο βιβλία που χρονολογείται στο 225 π.Χ.^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]^[6] Σε αυτή την πραγματεία, ήταν ο πρώτος που περιέγραψε τον τρόπο υπολογισμού του όγκου και του εμβαδού της επιφάνειας μιας σφαίρας καθώς και τους αντίστοιχους τύπους για έναν κύλινδρο. ^[7]^[8]

Περιεχόμενα

Οι κυριότεροι τύποι που προκύπτουν στην πραγματεία Περί σφαίρας και κυλίνδρου είναι αυτοί που αναφέρθηκαν παραπάνω: η επιφάνεια της σφαίρας, ο όγκος της περιεχόμενης σφαίρας, η επιφάνεια και ο όγκος του κυλίνδρου.

Έστω $r$ η ακτίνα της σφαίρας και του κυλίνδρου και $h$ το ύψος του κυλίνδρου, με την προϋπόθεση ότι ο κύλινδρος είναι ορθός κύλινδρος - η πλευρά είναι κάθετη και στα δύο καπάκια. Στο έργο του, ο Αρχιμήδης έδειξε ότι η επιφάνεια ενός κυλίνδρου είναι ίση με:

A_{C}=2\pi r^{2}+2\pi rh=2\pi r(r+h).\,

και ότι ο όγκος του ίδιου είναι:^[9]^[10]^[11]

V_{C}=\pi r^{2}h.\,

Στη σφαίρα, έδειξε ότι το εμβαδόν της επιφάνειας είναι τετραπλάσιο του εμβαδού του μεγάλου κύκλου της. Σε σύγχρονους όρους, αυτό σημαίνει ότι το εμβαδόν της επιφάνειας είναι ίσο με:

A_{S}=4\pi r^{2}.\,

Το αποτέλεσμα για τον όγκο της περιεχόμενης σφαίρας ανέφερε ότι είναι τα δύο τρίτα του όγκου ενός περιγεγραμμένου d κυλίνδρου, που σημαίνει ότι ο όγκος είναι

V_{S}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.

Όταν ο εγγεγραμμένος κύλινδρος είναι στενός και έχει ύψος $h=2r$ , έτσι ώστε η σφαίρα να αγγίζει τον κύλινδρο στο πάνω και στο κάτω μέρος, έδειξε ότι τόσο ο όγκος όσο και η επιφάνεια της σφαίρας ήταν τα δύο τρίτα του όγκου και της επιφάνειας του κυλίνδρου. Αυτό σημαίνει ότι το εμβαδόν της σφαίρας είναι ίσο με το εμβαδόν του κυλίνδρου μείον τα καπάκια του. Αυτό το αποτέλεσμα θα οδηγούσε τελικά στην κυλινδρική προβολή ίσων εμβαδών του Λαμπέρ, έναν τρόπο χαρτογράφησης του κόσμου που αναπαριστά με ακρίβεια τα εμβαδά. Ο Αρχιμήδης ήταν ιδιαίτερα υπερήφανος για το τελευταίο αυτό αποτέλεσμα (καθώς φέρεται να ήταν γραμμένο στην επιτύμβια στήλη του που ανακάλυψε ο Κικέρων), και έτσι ζήτησε να αναγραφεί στον τάφο του το σκίτσο μιας σφαίρας εγγεγραμμένης σε κύλινδρο. Αργότερα, ο Ρωμαίος φιλόσοφος Μάρκος Τύλλιος Κικέρων ανακάλυψε τον τάφο, ο οποίος είχε κατακλυστεί από τη γύρω βλάστηση^[12].

Το επιχείρημα που χρησιμοποίησε ο Αρχιμήδης για να αποδείξει τον τύπο για τον όγκο μιας σφαίρας ήταν αρκετά σύνθετο στη γεωμετρία του, και πολλά σύγχρονα εγχειρίδια παρουσιάζουν μια απλουστευμένη εκδοχή του χρησιμοποιώντας την έννοια του ορίου, η οποία δεν υπήρχε την εποχή του Αρχιμήδη. Ο Αρχιμήδης χρησιμοποίησε ένα εγγεγραμμένο ημιπολύγωνο σε ένα ημικύκλιο, στη συνέχεια περιστρέφοντας και τα δύο για να δημιουργήσει ένα συνονθύλευμα από αποστήματα σε μια σφαίρα, του οποίου στη συνέχεια προσδιόρισε τον όγκο ^[9].

Φαίνεται ότι αυτή δεν είναι η αρχική μέθοδος που χρησιμοποίησε ο Αρχιμήδης για να εξάγει αυτό το αποτέλεσμα, αλλά το καλύτερο τυπικό επιχείρημα που είχε στη διάθεσή του από την ελληνική μαθηματική παράδοση. Η αρχική του μέθοδος πιθανότατα περιελάμβανε μια έξυπνη χρήση μοχλών^[13]. Ένα παλίμψηστο που κλάπηκε από την Ελληνική Ορθόδοξη Εκκλησία στις αρχές του 20ου αιώνα, το οποίο επανεμφανίστηκε σε δημοπρασία το 1998, περιείχε πολλά έργα του Αρχιμήδη, μεταξύ των οποίων και τη Μέθοδο των Μηχανικών Θεωρημάτων, στην οποία περιγράφει μια μέθοδο για τον προσδιορισμό των όγκων που περιλαμβάνει ζυγαριές, κέντρα μάζας και απειροελάχιστα τεμάχια^[14].

Δημοσιεύσεις

Albert, Abraham Adrian (2016), Solid Analytic Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-81026-3
Swokowski, Earl W. (1983), Calculus with Analytic Geometry (Alternate έκδοση), Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-341-7, https://archive.org/details/calculuswithanal00swok
Wentworth, George; Smith, David Eugene (1913), Plane and Solid Geometry, Ginn and Co.

Δείτε επίσης

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Περί σφαίρας και κυλίνδρου σε νεοελληνική μετάφραση.
(Αγγλικά) Περί σφαίρας και κυλίνδρου σε αγγλική μετάφραση.

Ξενόγλωσσα άρθρα

Gould, S. H. (1955). The Method of Archimedes. 62. The American Mathematical Monthly, σελ. 473–476.
«The Method of Archimedes». American Mathematical Society.

Παραπομπές

↑ Σταμάτης, Ευάγγελος Σ. (1970). Αρχιμήδους Άπαντα (PDF). Αθήνα: Τεχνικό Επιμελητήριο της Ελλάδος.
↑ Heath, Thomas Little (1897). The Works of Archimedes. Cambridge University: Cambridge University Press. σελίδες lxxvii ; 50. Ανακτήθηκε στις 30 Ιουνίου 2008.
↑ Loria, G. (1972). «Κεφ. 3: Οί νομοθέται της γεωμετρίας». Ιστορία των Μαθηματικών Αρχαιότης - Μεσαίων - Αναγέννησις. Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία.
↑ Dunham, William (1990). Journey Through Genius (1st έκδοση). John Wiley and Sons. σελ. 98. ISBN 0-471-50030-5.
↑ Radice, Lucio Lombardo (1971). La matematica da Pitagora a Newton. Roma: Editori Riuniti.
↑ Heath, Thomas. A History of Greek Mathematics. 1. New York: Dover.
↑ Weisstein, Eric W., "Sphere" από το MathWorld. Retrieved on 2008-06-22
↑ Arquímedes (1544). Eutocii Ascalonitae in Archimedis libros sphaera et cylindro, atque alios quosdam, Commentaria, nunc primum et Graece et Latine in lucem edita [Ευτόκιος ο Ασκάλων στα βιβλία του Αρχιμήδη για τη σφαίρα και τον κύλινδρο και μερικά άλλα]. Ioannes Heruagius excudi fecit. σελ. 5.
1 2 Dunham, William (1994). The Mathematical Universe (1st έκδοση). John Wiley and Sons. σελίδες 226–227. ISBN 0-471-53656-3.
↑ Morton, Pierce (1830). Geometry, Plane, Solid, and Spherical, in Six Books. σελ. 167.
↑ Welsh, Alfred Hix (1883). Essentials of Geometry. σελ. 247.
↑ Hirano, Satoru (2004), «Archimedes: His Works», Britannica Online, 47, Encyclopædia Britannica, σελ. 212, doi:10.1241/johokanri.47.212, http://www.britannica.com/EBchecked/topic/32808/Archimedes/21480/His-works#ref=ref383380&tocpanel=sectionId~toc214869%2CtocId~toc214869, ανακτήθηκε στις 2008-06-23
↑ Károly Simonyi (2012). A Cultural History of Physics. en:CRC Press. σελ. 88. ISBN 978-1-56881-329-5. Ανακτήθηκε στις 4 Ιουλίου 2013.
↑ «Archimedes' Secret (BBC Documentary)». BBC. Ανακτήθηκε στις 4 Ιουλίου 2013.

[1] Σταμάτης, Ευάγγελος Σ. (1970). Αρχιμήδους Άπαντα (PDF). Αθήνα: Τεχνικό Επιμελητήριο της Ελλάδος.

[2] Heath, Thomas Little (1897). The Works of Archimedes. Cambridge University: Cambridge University Press. σελίδες lxxvii ; 50. Ανακτήθηκε στις 30 Ιουνίου 2008.

[3] Loria, G. (1972). «Κεφ. 3: Οί νομοθέται της γεωμετρίας». Ιστορία των Μαθηματικών Αρχαιότης - Μεσαίων - Αναγέννησις. Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία.

[4] Dunham, William (1990). Journey Through Genius (1st έκδοση). John Wiley and Sons. σελ. 98. ISBN 0-471-50030-5.

[5] Radice, Lucio Lombardo (1971). La matematica da Pitagora a Newton. Roma: Editori Riuniti.

[6] Heath, Thomas. A History of Greek Mathematics. 1. New York: Dover.

[7] Weisstein, Eric W., "Sphere" από το MathWorld. Retrieved on 2008-06-22

[8] Arquímedes (1544). Eutocii Ascalonitae in Archimedis libros sphaera et cylindro, atque alios quosdam, Commentaria, nunc primum et Graece et Latine in lucem edita [Ευτόκιος ο Ασκάλων στα βιβλία του Αρχιμήδη για τη σφαίρα και τον κύλινδρο και μερικά άλλα]. Ioannes Heruagius excudi fecit. σελ. 5.

[D94-9] 1 2 Dunham, William (1994). The Mathematical Universe (1st έκδοση). John Wiley and Sons. σελίδες 226–227. ISBN 0-471-53656-3.

[10] Morton, Pierce (1830). Geometry, Plane, Solid, and Spherical, in Six Books. σελ. 167.

[11] Welsh, Alfred Hix (1883). Essentials of Geometry. σελ. 247.

[12] Hirano, Satoru (2004), «Archimedes: His Works», Britannica Online, 47, Encyclopædia Britannica, σελ. 212, doi:10.1241/johokanri.47.212, http://www.britannica.com/EBchecked/topic/32808/Archimedes/21480/His-works#ref=ref383380&tocpanel=sectionId~toc214869%2CtocId~toc214869, ανακτήθηκε στις 2008-06-23

[Simonyi2012-13] Károly Simonyi (2012). A Cultural History of Physics. en:CRC Press. σελ. 88. ISBN 978-1-56881-329-5. Ανακτήθηκε στις 4 Ιουλίου 2013.

[bbc_secret-14] «Archimedes' Secret (BBC Documentary)». BBC. Ανακτήθηκε στις 4 Ιουλίου 2013.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

π σ ε Μαθηματικά στην Αρχαία Ελλάδα
Μαθηματικοί	Αναξαγόρας Ανθέμιος ο Τραλλιανός Απολλώνιος ο Περγαίος Αρισταίος ο Πρεσβύτερος Αρίσταρχος ο Σάμιος Αρχιμήδης Αρχύτας ο Ταραντίνος Αυτόλυκος ο Πιτταναίος Βίων ο Αβδηρίτης Βρύσων ο Ηρακλειώτης Γέμινος ο Ρόδιος Δεινόστρατος Δημόκριτος Δικαίαρχος Διοκλής ο Αλεξανδρεύς Διονυσόδωρος ο Αμασιεύς Διονυσόδωρος ο Καύνειος Διόφαντος Δομνίνος ο Λαρισαίος Ερατοσθένης ο Κυρηναίος Εύδημος ο Ρόδιος Εύδοξος ο Κνίδιος Ευκλείδης Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης Ζηνόδωρος ο Παιανιεύς Ζήνων ο Ελεάτης Ζήνων ο Σιδώνιος Ηλιοδωρος ο Λαρισαιος Ήρων ο Αλεξανδρεύς Θαλής Θεαίτητος Θέων ο Αλεξανδρεύς Θεόδωρος ο Κυρηναίος Θέων ο Σμυρναίος Θεοδόσιος της Βιθυνίας Θυμαρίδας Ισίδωρος ο Μιλήσιος Ίππαρχος ο Ρόδιος Ίππασος Ιππίας ο Ηλείος Ιπποκράτης ο Χίος Κάλλιππος Κάρπος ο Αντιοχεύς Κλαύδιος Πτολεμαίος Κλεομήδης ο κοσμογράφος Κόνων ο Σάμιος Κτησίβιος ο Αλεξανδρεύς Μαρίνος ο Νεαπολίτης Μενέλαος ο Αλεξανδρεύς Μέναιχμος Μητρόδωρος Νικόμαχος ο Γερασηνός Νικομήδης Νικοτελης ο Κυρηναιος Οινοπίδης ο Χίος Πανδροσίων Πάππος Πορφύριος Ποσειδώνιος ο Ρόδιος Πρόκλος Πυθαγόρας Σπόρος ο εκ Νικαίας Σωσιγένης ο Αλεξανδρεύς Ξενοκράτης Υπατία Υψικλής ο Αλεξανδρεύς Φιλόλαος Φιλονίδης ο Λαοδίκειος Χρύσιππος ο Σολεύς
Πραγματείες	Αριθμητικά Βιβλίο των Λημμάτων Δεδομένα Κατοπτρικά Κύκλου μέτρησις Κωνικά (Απολλώνιος) Μαθηματική σύνταξις Μικρὸς Ἀστρονομούμενος Οπτικά Οστομάχιον Περί ελίκων Περὶ κινουμένης σφαίρας Περὶ μεγεθῶν καὶ ἀποστημάτων Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων Περί σφαίρας και κυλίνδρου Στοιχεία Σφαιρικά Τετραγωνισμός παραβολής Φαινόμενα Ψαμμίτης
Πύλη Μαθηματικά Κατηγορία Commons