Αβελιανή κατηγορία

Στα μαθηματικά, μια αβελιανή κατηγορία είναι μια κατηγορία στην οποία μπορούν να προστεθούν μορφισμοί και αντικείμενα και στην οποία υπάρχουν πυρήνες και συμπύρηνες που έχουν αποδεκτές ιδιότητες.

Το παραδειγματικό πρότυπο μιας αβελιανής κατηγορίας είναι η κατηγορία των αβελιανών ομάδων, Ab.

Οι αβελιανές κατηγορίες είναι πολύ σταθερές κατηγορίες. Πρόκειται για κανονικές κατηγορίες που ικανοποιούν και το λήμμα του φιδιού. Η κλάση των αβελιανών κατηγοριών είναι κλειστή βάσει πολλών κατηγοριακών κατασκευών όπως, για παράδειγμα η κατηγορία των μιγαδικών αλυσίδων μιας αβελιανής κατηγορίας ή η κατηγορία των συναρτητών μιας μικρής κατηγορίας προς μια αβελιανή κατηγορία είναι επίσης αβελιανή. Αυτές οι ιδιότητες σταθερότητας τις καθιστούν απαραίτητες στην ομολογική άλγεβρα και πέραν αυτής. Η θεωρία έχει σημαντικές εφαρμογές στην αλγεβρική γεωμετρία, στην ομολογία και στην καθαρή θεωρία κατηγοριών.

Ο Μακ Λέιν αναφέρει ότι ο Αλεξάντερ Γκρότεντικ όρισε τις αβελιανές κατηγορίες το 1957, αλλά υπάρχει μια αναφορά που ισχυρίζεται ότι ο μαθητής του Άιλεμπεργκ, Μπουχσμπάουμ, είχε προτείνει την έννοια αυτή στην διδακτορική του διατριβή το 1955,και ότι ο Γκρότεντικ την διέδωσε με την ονομασία "αβελιανή κατηγορία".

Ορισμός

Μια κατηγορία είναι αβελιανή αν είναι προπροσθετική και

• έχει ένα μηδενικό αντικείμενο,
• έχει όλα τα δυαδικά υπογινόμενα,
• έχει όλους τους πυρήνες και τους συμπυρήνες, και
• όλοι οι μονομορφισμοί και οι επιμορφισμοί είναι κανονικοί.

Ο ορισμός αυτός είναι ισοδύναμος με τον ακόλουθο "τμηματικό" ορισμό:

• Μια κατηγορία είναι προπροσθετική αν είναι εμπλουτισμένη πάνω στην μονοειδή κατηγορία Ab των αβελιανών ομάδων. Αυτό σημαίνει ότι όλα τα σύνολα hom είναι αβελιανές ομάδες και η σύνθεση των μορφισμών είναι διγραμμική.
• Μια προαθροιστική κατηγορία είναι αθροιστική αν κάθε πεπερασμένο σύνολο αντικειμένων έχει ένα διγινόμενο. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να σχηματίσουμε πεπερασμένα άμεσα αθροίσματα και άμεσα γινόμενα. Στον ορισμό. 1.2.6, απαιτείται μια προσθετική κατηγορία να έχει ένα μηδενικό αντικείμενο (κενό διγινόμενο).
• Μια πρόσθετη κατηγορία είναι προαβελιανή αν κάθε μορφισμός έχει και πυρήνα και συμπυρήνα.
• Τέλος, μια προαβελιανή κατηγορία είναι αβελιανή αν κάθε μονομορφισμός και κάθε επιμορφισμός είναι κανονικός. Αυτό σημαίνει ότι κάθε μονομορφισμός είναι πυρήνας κάποιου μορφισμού και κάθε επιμορφισμός είναι συμπυρήνας κάποιου μορφισμού.

Ας σημειωθεί ότι η εμπλουτισμένη δομή στα σύνολα hom είναι συνέπεια των τριών πρώτων αξιωμάτων του πρώτου ορισμού. Αυτό υπογραμμίζει τη θεμελιώδη σημασία της κατηγορίας των αβελιανών ομάδων στη θεωρία και τον κανονικό της χαρακτήρα.

Η έννοια της ακριβούς ακολουθίας προκύπτει φυσικά σε αυτό το πλαίσιο, και αποδεικνύεται ότι οι ακριβείς συναρτητές, δηλαδή οι συναρτητές που διατηρούν τις ακριβείς ακολουθίες με διάφορες έννοιες, είναι οι κατάλληλοι συναρτητές μεταξύ των αβελιανών κατηγοριών. Αυτή η έννοια της ακριβείας έχει αξιωματικοποιηθεί στη θεωρία των ακριβών κατηγοριών, σχηματίζοντας μια πολύ ειδική περίπτωση κανονικών κατηγοριών.

Παραδείγματα

• Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, η κατηγορία όλων των αβελιανών ομάδων είναι μια αβελιανή κατηγορία. Η κατηγορία όλων των πεπερασμένα παραγόμενων αβελιανών ομάδων είναι επίσης μια αβελιανή κατηγορία, όπως και η κατηγορία όλων των πεπερασμένων αβελιανών ομάδων.
• Εάν R είναι ένας δακτύλιος, τότε η κατηγορία όλων των αριστερών (ή δεξιών) προτύπων πάνω στο R είναι μια αβελιανή κατηγορία. Στην πραγματικότητα, μπορεί να αποδειχθεί ότι οποιαδήποτε μικρή αβελιανή κατηγορία είναι ισοδύναμη με μια πλήρη υποκατηγορία μιας τέτοιας κατηγορίας προτύπων (θεώρημα εμφύτευσης του Μίτσελ).
• Εάν R είναι ένας αριστερός-ναιτέριανος δακτύλιος, τότε η κατηγορία των πεπερασμένων παραγόμενων αριστερών προτύπων πάνω στο R είναι αβελιανή. Συγκεκριμένα, η κατηγορία των πεπερασμένων παραγόμενων υποδιαιρέσεων πάνω σε έναν ναιτεριανό αντιμεταθετικό δακτύλιο είναι αβελιανή. Με αυτόν τον τρόπο, οι αβελιανές κατηγορίες εμφανίζονται στην αντιμεταθετική άλγεβρα.
• Ως ειδικές περιπτώσεις των δύο προηγούμενων παραδειγμάτων: η κατηγορία των διανυσματικών χώρων πάνω σε ένα σταθερό σώμα k είναι αβελιανή, όπως και η κατηγορία των πεπερασμένων διανυσματικών χώρων πάνω στο k.
• Εάν X είναι ένας τοπολογικός χώρος, τότε η κατηγορία όλων των (πραγματικών ή μιγαδικών) διανυσματικών δεσμών στο X δεν είναι συνήθως μια αβελιανή κατηγορία, καθώς μπορεί να υπάρχουν μονομορφισμοί που δεν είναι πυρήνες.
• Εάν X είναι ένας τοπολογικός χώρος, τότε η κατηγορία όλων των δεματίων αβελιανών ομάδων στο X είναι μια αβελιανή κατηγορία. Γενικότερα, η κατηγορία των δεματίων αβελιανών ομάδων σε μια περιοχή του Γκρότεντικ είναι μια αβελιανή κατηγορία. Με αυτόν τον τρόπο, οι αβελιανές κατηγορίες εμφανίζονται στην αλγεβρική τοπολογία και την αλγεβρική γεωμετρία.
• Εάν C είναι μια μικρή κατηγορία και A είναι μια αβελιανή κατηγορία, τότε η κατηγορία όλων των συναρτητών από C σε A σχηματίζει μια αβελιανή κατηγορία. Εάν C είναι μικρή και προπροσθετική, τότε η κατηγορία όλων των προσθετικών συναρτητών από C σε A σχηματίζει επίσης μια αβελιανή κατηγορία. Το τελευταίο είναι μια γενίκευση του παραδείγματος του R-προτύπου, καθώς ένας δακτύλιος μπορεί να θεωρηθεί ως μια προπροσθετική κατηγορία με ένα μόνο αντικείμενο.

Αξιώματα του Γκρότεντικ

Στο άρθρο του για το Τόχοκου, ο Γκρότεντικ απαρίθμησε τέσσερα επιπλέον αξιώματα (και τα δίδυμα τους) που μπορεί να ικανοποιεί μια αβελιανή κατηγορία Α. Αυτά τα αξιώματα χρησιμοποιούνται ακόμα και σήμερα. Είναι τα εξής:

• AB3) Για κάθε ευρετηριασμένη οικογένεια (A_i) αντικειμένων του A, το συνγινόμενο *A_i υπάρχει στο A (δηλ. το A είναι συνολοκλήρο).
• AB4) A ικανοποιεί AB3), και το συνγινόμενο μιας οικογένειας μονομορφισμών είναι μονομορφισμός.
• AB5) A ικανοποιεί AB3), και τα φιλτραρισμένα συνόρια (colimit) των ακριβών ακολουθιών είναι ακριβή.

και τα δυϊκά τους

• AB3*) Για κάθε ευρετηριασμένη οικογένεια (A_i) αντικειμένων της A, το γινόμενο PA_i υπάρχει στην A (δηλ. η A είναι πλήρης).
• AB4*) A ικανοποιεί AB3*), και το γινόμενο μιας οικογένειας επιμορφισμών είναι ένας επιμορφισμός.
• AB5*) A ικανοποιεί AB3*), και τα φιλτραρισμένα όρια των ακριβών ακολουθιών είναι ακριβή.

Δόθηκαν επίσης τα αξιώματα AB1) και AB2) Αυτά είναι που κάνουν μια πρόσθετη κατηγορία αβελιανή. Συγκεκριμένα:

• AB1) Κάθε μορφισμός έχει έναν πυρήνα και έναν συμπυρήνα.
• AB2) Για κάθε μορφισμό f, ο κανονικός μορφισμός από το coim f στο im f είναι ένας ισομορφισμός.

Ο Γκρότενικ έδωσε επίσης τα αξιώματα AB6) και AB6*).

• AB6) A ικανοποιεί AB3), και, δεδομένης μιας οικογένειας φιλτραρισμένων κατηγοριών $I_{j},j\in J$ και απεικονίσεων $A_{j}:I_{j}\to A$, έχουμε$\prod _{j\in J}\lim _{I_{j}}A_{j}=\lim _{I_{j},\forall j\in J}\prod _{j\in J}A_{j}$, όπου lim δηλώνει το φιλτραρισμένο συνόριο.
• AB6*) A ικανοποιεί AB3*), και δεδομένης μιας οικογένειας συν-φιλτραρισμένων κατηγοριών $I_{j},j\in J$ και απεικονίσεων $A_{j}:I_{j}\to A$, έχουμε$\sum _{j\in J}\lim _{I_{j}}A_{j}=\lim _{I_{j},\forall j\in J}\sum _{j\in J}A_{j}$, όπου lim δηλώνει το συν-φιλτραρισμένο όριο.

Βασικές ιδιότητες

Δεδομένου οποιουδήποτε ζεύγους αντικειμένων A, B σε μια αβελιανή κατηγορία, υπάρχει ένας ειδικός μηδενικός μορφισμός από το A στο B. Αυτός μπορεί να οριστεί ως το μηδενικό στοιχείο του συνόλου Hom(A,B), δεδομένου ότι αυτό είναι μια αβελιανή ομάδα. Εναλλακτικά, μπορεί να οριστεί ως η μοναδική σύνθεση A → 0 → B, όπου το 0 είναι το μηδενικό αντικείμενο της αβελιανής κατηγορίας.

Σε μια αβελιανή κατηγορία, κάθε μορφισμός f μπορεί να γραφτεί ως σύνθεση ενός επιμορφισμού ακολουθούμενου από έναν μονομορφισμό. Αυτός ο επιμορφισμός ονομάζεται συν-εικόνα του f, ενώ ο μονομορφισμός ονομάζεται εικόνα του f.

Τα υποαντικείμενα και τα αντικείμενα πηλίκου συμπεριφέρονται καλά στις αβελιανές κατηγορίες. Επί παραδείγματι, η μερική διάταξη των υποαντικειμένων οποιουδήποτε δεδομένου αντικειμένου Α είναι ένα φραγμένο πλέγμα.

Κάθε αβελιανή κατηγορία A είναι ένα πρότυπο της μονοειδούς κατηγορίας των πεπερασμένα παραγόμενων αβελιανών ομάδων. Δηλαδή, μπορούμε να σχηματίσουμε ένα τανυστικό γινόμενο μιας πεπερασμένα παραγόμενης αβελιανής ομάδας G και οποιουδήποτε αντικειμένου A της A. Η αβελιανή κατηγορία είναι επίσης ένα συν-πρότυπο. Το Hom(G,A) μπορεί να ερμηνευθεί ως αντικείμενο της A. Εάν η A είναι πλήρης, τότε μπορούμε να αφαιρέσουμε την απαίτηση ότι η G είναι πεπερασμένα παραγόμενη. Γενικά, μπορούμε να σχηματίσουμε πεπερασμένα εμπλουτισμένα όρια στην A.

Δεδομένου ενός αντικειμένου $A$ σε μια αβελιανή κατηγορία, η επιπεδότητα αναφέρεται στην ιδέα ότι $-\otimes A$ είναι ένας ακριβής συναρτητής. Βλέπε επίπεδη ενότητα ή, για γενικότερη προσέγγιση, επίπεδος μορφισμός.

Σχετικές έννοιες

Οι αβελιανές κατηγορίες είναι το πιο γενικό πλαίσιο για την ομολογική άλγεβρα. Όλες οι κατασκευές που χρησιμοποιούνται σε αυτόν τον τομέα είναι σημαντικές, όπως οι ακριβείς ακολουθίες, και ειδικά οι σύντομες ακριβείς ακολουθίες, και οι παραγόμενοι συναρτητές. Σημαντικά θεωρήματα που ισχύουν σε όλες τις αβελιανές κατηγορίες περιλαμβάνουν το λήμμα των πέντε (και το σύντομο λήμμα των πέντε ως ειδική περίπτωση), καθώς και το λήμμα του φιδιού (και το λήμμα των εννέα ως ειδική περίπτωση).

Ημι-απλές αβελιανές κατηγορίες

Μια αβελιανή κατηγορία $\mathbf {A}$ ονομάζεται ημι-απλή αν υπάρχει μια συλλογή αντικειμένων $\{X_{i}\}_{i\in I}\in {\text{Ob}}(\mathbf {A} )$ που ονομάζονται απλά αντικείμενα (που σημαίνει ότι τα μόνα υποαντικείμενα οποιουδήποτε $X_{i}$ είναι το μηδενικό αντικείμενο $0$ και το ίδιο) έτσι ώστε ένα αντικείμενο $X\in {\text{Ob}}(\mathbf {A} )$ να μπορεί να αναλυθεί ως άμεση άθροιση (που δηλώνει το συνγινόμενο της αβελιανής κατηγορίας)

$X\cong \bigoplus _{i\in I}X_{i}$

Αυτή η τεχνική προϋπόθεση είναι αρκετά αυστηρή και αποκλείει πολλά φυσικά παραδείγματα αβελιανών κατηγοριών που συναντώνται στη φύση. Επί παραδείγματι, οι περισσότερες κατηγορίες προτύπων πάνω σε ένα δακτύλιο $R$ δεν είναι ημιαπλές· στην πραγματικότητα, αυτό ισχύει αν και μόνο αν $R$ είναι ημιαπλός δακτύλιος.

Παραδείματα

Ορισμένες αβελιανές κατηγορίες που απαντώνται στη φύση είναι ημιαπλές, όπως

• Η κατηγορία των διανυσματικών χώρων ${\text{Vect}}(k)$ πάνω σε ένα σταθερό σώμα $k$.
• Σύμφωνα με το θεώρημα του Μάσκε (Maschke) η κατηγορία των αναπαραστάσεων ${\text{Rep}}_{k}(G)$ μιας πεπερασμένης ομάδας $G$ πάνω σε ένα σώμα $k$ του οποίου το χαρακτηριστικό δεν διαιρεί το $|G|$ είναι μια ημιαπλή αβελιανή κατηγορία.
• Η κατηγορία των συνεκτικών δεματίων σε ένα Ναιτεριανό σχήμα είναι ημιαπλή αν και μόνο αν $X$ είναι μια πεπερασμένη ασύνδετη ένωση μη αναγώγιμων σημείων. Αυτό ισοδυναμεί με ένα πεπερασμένο συνγινόμενο κατηγοριών διανυσματικών χώρων πάνω σε διαφορετικά δεμάτια. Το να αποδείξουμε ότι αυτό ισχύει προς τα εμπρός ισοδυναμεί με το να αποδείξουμε ότι όλες οι ομάδες ${\text{Ext}}^{1}$ εκμηδενίζονται, που σημαίνει ότι η ομολογική διάσταση είναι 0. Αυτό συμβαίνει μόνο όταν τα δεμάτια ουρανοξύστη (skyscraper sheaves) $k_{x}$ σε ένα σημείο $x\in X$ έχουν εφαπτόμενο χώρο Ζαρίσκι ίσο με μηδέν, ο οποίος είναι ισομορφικός με ${\text{Ext}}^{1}(k_{x},k_{x})$ χρησιμοποιώντας τοπική άλγεβρα για ένα τέτοιο σχήμα..

Μη παραδείγματα

Υπάρχουν μερικά φυσικά αντιπαραδείγματα αβελιανών κατηγοριών που δεν είναι ημιαπλές, όπως ορισμένες κατηγορίες αναπαραστάσεων. Επί παραδείγματι, η κατηγορία των αναπαραστάσεων της ομάδας Λι $(\mathbb {R} ,+)$ έχει την αναπαράσταση

$a\mapsto {\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}$

η οποία έχει μόνο μία υποαναπαράσταση διαστάσεως $1$. Στην πραγματικότητα, αυτό ισχύει για κάθε μονοδύναμη ομάδα.^{pg 112}.

Υποκατηγορίες αβελιανών κατηγοριών

Υπάρχουν πολυάριθμοι τύποι (πλήρεις, προσθετικές) υποκατηγορίες αβελιανών κατηγοριών που εμφανίζονται στη φύση, καθώς και ορισμένες αντικρουόμενες ορολογίες.

Έστω Α μια αβελιανή κατηγορία, C μια πλήρης, προσθετική υποκατηγορία και I ο συναρτητής εγκλεισμού.

• Η C είναι μια ακριβής υποκατηγορία αν είναι το ίδιο μια ακριβής κατηγορία και η έγκλειση I είναι ένας ακριβής συναρτητής. Αυτό συμβαίνει αν και μόνο αν το C είναι κλειστό υπό νηµατικό γινόµενο (pullback) επιμορφισμών και νηµατικό συνγινόµενο (pushout) μονομορφισμών. Οι ακριβείς ακολουθίες στο C είναι επομένως οι ακριβείς ακολουθίες στο A για τις οποίες όλα τα αντικείμενα βρίσκονται στο C.
• Η C είναι μια αβελιανή υποκατηγορία αν είναι η ίδια μια αβελιανή κατηγορία και η έγκλιση I είναι ένας ακριβής συναρτητής. Αυτό συμβαίνει αν και μόνο αν η C είναι κλειστή ως προς τη λήψη πυρήνων και συμπυρήνων. Ας σημειωθεί ότι υπάρχουν παραδείγματα πλήρων υποκατηγοριών μιας αβελιανής κατηγορίας που είναι οι ίδιες αβελιανές, αλλά όπου ο συναρτητής εγκλεισμού δεν είναι ακριβής, οπότε δεν είναι αβελιανές υποκατηγορίες (βλ. παρακάτω).
• Η C είναι μια παχύς υποκατηγορία αν είναι κλειστή υπό άθροιση άμεσων συντελεστών και ικανοποιεί την ιδιότητα 2-από-3 σε σύντομες ακριβείς ακολουθίες. Δηλαδή, αν $0\to M'\to M\to M''\to 0$ είναι μια σύντομη ακριβής ακολουθία στην A, έτσι ώστε δύο από τα $M',M,M''$ να βρίσκονται στην C, τότε το ίδιο ισχύει και για το τρίτο. Με άλλα λόγια, η C είναι κλειστή υπό πυρήνες επιμορφισμών, συμπυρήνες μονομορφισμών και επεκτάσεις. Ας σημειωθεί ότι ο Π. Γκαμπριέλ χρησιμοποίησε τον όρο "παχιά υποκατηγορία" για να περιγράψει αυτό που εδώ ονομάζουμε υποκατηγορία Σερ.
• Η C είναι μια τοπολογητική υποκατηγορία αν είναι κλειστή ως προς τα υποπηλίκα.
• Η C είναι υποκατηγορία Σερ αν, για όλες τις σύντομες ακριβείς ακολουθίες $0\to M'\to M\to M''\to 0$ στην A, έχουμε M στην C αν και μόνο αν και τα δύο $M',M''$ είναι στην C. Με άλλα λόγια, η C είναι κλειστή υπό επεκτάσεις και υποληλίκα. Αυτές οι υποκατηγορίες είναι ακριβώς οι πυρήνες των ακριβών συναρτητών από την A σε μια άλλη αβελιανή κατηγορία.
• Η C είναι μια υποκατηγορία εντοπισμού αν είναι μια υποκατηγορία Σερ τέτοια ώστε ο συναρτητής πηλίκου $Q\colon \mathbf {A} \to \mathbf {A} /\mathbf {C}$ δέχεται έναν δεξί συζυγή.
• Υπάρχουν δύο ανταγωνιστικές έννοιες μιας ευρείας υποκατηγορίας. Η μία εκδοχή είναι ότι η C περιέχει κάθε αντικείμενο της A (μέχρι ισομορφισμό) Για μια πλήρη υποκατηγορία, αυτό προφανώς δεν είναι ενδιαφέρον. (Αυτό ονομάζεται επίσης υποκατηγορία lluf). Η άλλη εκδοχή είναι ότι η C είναι κλειστή υπό επεκτάσεις.

Ακολουθεί ένα σαφές παράδειγμα μιας πλήρους, προσθετικής υποκατηγορίας μιας αβελιανής κατηγορίας που είναι η ίδια αβελιανή, αλλά ο συναρτητής εγκλεισμού δεν είναι ακριβής. Έστω k ένα σώμα $T_{n}$ η άλγεβρα των άνω τριγωνικών πινάκων $n\times n$ στο k, και $\mathbf {A} _{n}$ η κατηγορία των πεπερασμένων διαστάσεων $T_{n}$-προτύπων. Τότε κάθε $\mathbf {A} _{n}$είναι μια αβελιανή κατηγορία και έχουμε έναν συναρτητή εγκλεισμού $I\colon \mathbf {A} _{2}\to \mathbf {A} _{3}$ που προσδιορίζει τα απλά προβολικά, απλά ερριπτικά και αδιάσπαστα προβολικά-ερριπτικά πρότυπα. Η ουσιαστική εικόνα του I είναι μια πλήρης, προσθετική υποκατηγορία, αλλά το I δεν είναι ακριβές.

Ιστορία

Οι αβελιανές κατηγορίες εισήχθησαν από τον Μπούκσμπαουμ (Buchsbaum (1955) (με την ονομασία «ακριβής κατηγορία») και τον Γκρότεντικ (Grothendieck (1957) με σκοπό την ενοποίηση διαφόρων θεωριών ομολογίας. Εκείνη την εποχή, υπήρχε μια θεωρία ομολογίας για δεμάτια και μια θεωρία ομολογίας για ομάδες. Οι δύο ορίζονταν διαφορετικά, αλλά είχαν παρόμοιες ιδιότητες. Στην πραγματικότητα, μεγάλο μέρος της θεωρίας κατηγοριών αναπτύχθηκε ως γλώσσα για τη μελέτη αυτών των ομοιοτήτων. Ο Γκρότεντικ ενοποίησε τις δύο θεωρίες: και οι δύο προκύπτουν ως παραγόµενων συναρτητών σε αβελιανές κατηγορίες, την αβελιανή κατηγορία των δεματίων αβελιανών ομάδων σε έναν τοπολογικό χώρο και την αβελιανή κατηγορία των G-προτύπων για μια δεδομένη ομάδα G.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου.
• Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
• Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

• Προσεταιριστική ιδιότητα
• Αντιμεταθετική ιδιότητα
• Μορφοκλασματική διάσταση
• Ομοπαραλληλική γεωμετρία
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Αρχιμήδεια ιδιότητα
• Τοπολογικός χώρος
• Κατηγορία αβελιανών ομάδων
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Υπολογιστική ρευστοδυναμική
• Αβελιανή ομάδα
• Σύνθεση συνάρτησης
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Ένα προς ένα
• Συναρτητής Hom
• Συνήθης διαφορική εξίσωση
• Γραμμική απεικόνιση
• Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

Βιβλιογραφία

• Weibel, Charles A. (27 Οκτωβρίου 1995). An Introduction to Homological Algebra. Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-64307-8. 
• Lubkin, Saul (28 Μαΐου 2015). Non-hausdorff Completion, A: The Abelian Category Of C-complete Left Modules Over A Topological Ring. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4667-40-1. 
• Tholen, George Janelidze, Bodo Pareigis, and Walter. Galois Theory, Hopf Algebras, and Semiabelian Categories. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-7147-8. 
• Happel, Dieter· Reiten, Idun (1996). Tilting in Abelian Categories and Quasitilted Algebras. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-0444-5. 
• Borceux, Francis· Bourn, Dominique (29 Φεβρουαρίου 2004). Mal'cev, Protomodular, Homological and Semi-Abelian Categories. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4020-1961-6. 
• Fossum, R. M.· Griffith, P. A. (15 Νοεμβρίου 2006). Trivial Extensions of Abelian Categories: Homological Algebra of Trivial Extensions of Abelian Catergories with Applications to Ring Theory. Springer. ISBN 978-3-540-37487-9. 
• Marquis, Jean-Pierre (20 Νοεμβρίου 2008). From a Geometrical Point of View: A Study of the History and Philosophy of Category Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4020-9384-5. 
• Borceux, Francis (1994). Handbook of Categorical Algebra: Categories and structures. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-44179-7. 
• Lane, Saunders Mac (25 Σεπτεμβρίου 1998). Categories for the Working Mathematician. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-98403-2. 
• Yau, Donald (11 Οκτωβρίου 2024). Bimonoidal Categories, $E_n$-Monoidal Categories, and Algebraic $K$-Theory: Volume II: Braided Bimonoidal Categories with Applications. American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-7810-0. 

Παραπομπές

• Buchsbaum, David A. (1955), «Exact categories and duality», Transactions of the American Mathematical Society 80 (1): 1–34, doi:10.1090/S0002-9947-1955-0074407-6, ISSN 0002-9947 
• Freyd, Peter (1964), Abelian Categories, New York: Harper and Row, http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/3/tr3abs.html 
• Grothendieck, Alexander (1957), «Sur quelques points d'algèbre homologique», Tohoku Mathematical Journal, Second Series 9 (2): 119–221, doi:10.2748/tmj/1178244839, ISSN 0040-8735, http://projecteuclid.org/euclid.tmj/1178244839 
• Mitchell, Barry (1965), Theory of Categories, Boston, MA: Academic Press 
• Popescu, Nicolae (1973), Abelian categories with applications to rings and modules, Boston, MA: Academic Press 
• Esnault, Hélène; Viehweg, Eckart (1988), «Deligne-Beĭlinson cohomology», Beĭlinson's conjectures on special values of L-functions, Perspect. Math., 4, Boston, MA: Academic Press, σελ. 43–91, ISBN 978-0-12-581120-0, http://www.uni-due.de/~mat903/preprints/ec/deligne_beilinson.pdf 
• Gajer, Pawel (1997), «Geometry of Deligne cohomology», Inventiones Mathematicae 127 (1): 155–207, doi:10.1007/s002220050118, ISSN 0020-9910 
• Gomi, Kiyonori (2009), «Projective unitary representations of smooth Deligne cohomology groups», Journal of Geometry and Physics 59 (9): 1339–1356, doi:10.1016/j.geomphys.2009.06.012, ISSN 0393-0440 

• Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0. 
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
• Munkres, James R. (1993). Elements of Algebraic Topology. New York: Westview Press. ISBN 0-201-62728-0. 
• Artin, Michael· Alexandre Grothendieck· Jean-Louis Verdier, επιμ. (1972). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 1. Lecture notes in mathematics (στα Γαλλικά). 269. Berlin; New York: Springer-Verlag. xix+525. doi:10.1007/BFb0081551. ISBN 978-3-540-05896-0. 
• Giraud, Jean (1964), «Analysis situs», Séminaire Bourbaki, 1962/63. Fasc. 3,, Paris: Secrétariat mathématique, http://www.numdam.org/item?id=SB_1962-1964__8__189_0 
• Pedicchio, Maria Cristina· Tholen, Walter, επιμ. (2004). Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 97. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001. 
• Pedicchio, Maria Cristina· Tholen, Walter, επιμ. (2004). Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 97. Cambridge University Press. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001. 
• Categorical programming with inductive and coinductive types (Αρχειοθετήθηκε 2020-11-30 στο Wayback Machine.) by Varmo Vene
• Philip Wadler: Recursive types for free! (Αρχειοθετήθηκε 2020-11-30 στο Wayback Machine.) University of Glasgow, June 1990. Draft.
• Algebra and coalgebra (Αρχειοθετήθηκε 2019-04-27 στο Wayback Machine.) from CLiki
• B. Jacobs, J. Rutten: A Tutorial on (Co) Algebras and (Co) Induction. Bulletin of the European Association for Theoretical Computer Science, vol. 62, 1997, Αρχειοθετήθηκε 2021-02-12 στο Wayback Machine.
• Understanding F-Algebras (Αρχειοθετήθηκε 2020-08-04 στο Wayback Machine.) by Bartosz Milewski
• star-autonomous category at the nLab
• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics. 5 (2nd έκδοση). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001. 
• This article is based in part on PlanetMath's article on examples of initial and terminal objects.
• Pedicchio, Maria Cristina· Tholen, Walter, επιμ. (2004). Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 97. Cambridge University Press. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001. 
• Drozd, Yu. A.; Kirichenko, V.V. (1994), Finite Dimensional Algebras, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-53380-X 
• Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd έκδοση), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1 
• Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Endomorphism ring», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/e035610 
• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 2 (2nd έκδοση), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7 
• Passman, Donald S. (1991), A Course in Ring Theory, Pacific Grove: Wadsworth & Brooks/Cole, ISBN 0-534-13776-8, https://books.google.com/books?id=hQTvAAAAMAAJ&q=endomorphism+ring 
• Wisbauer, Robert (1991), Foundations of module and ring theory, Algebra, Logic and Applications, 3 (Revised and translated from the 1988 German έκδοση), Philadelphia, PA: Gordon and Breach Science Publishers, σελ. xii+606, ISBN 2-88124-805-5, https://archive.org/details/foundationsofmod0003wisb/page/  A handbook for study and research
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967), «Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie», Publications Mathématiques de l'IHÉS 32: 5–333, doi:10.1007/BF02732123, http://www.numdam.org:80/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1967__32_ 
• Grothendieck, Alexandre; Raynaud, Michèle (2003), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3), Paris: Société Mathématique de France, σελ. xviii+327, ISBN 978-2-85629-141-2 
• Sloane, N. J. A. (επιμ.). «Sequence A003172 (Q(sqrt n) is a unique factorization domain (or simple quadratic field))». The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 
• Sporn, Howard (2021). «A group structure on the golden triples». The Mathematical Gazette 105 (562): 87–97. doi:10.1017/mag.2021.11. 
• Rosen, Michael (1981), «An elementary proof of the local Kronecker-Weber theorem», Transactions of the American Mathematical Society 265 (2): 599–605, doi:10.2307/1999753, ISSN 0002-9947 

Πηγές

• Subaiei, Bana Al· Nuwairan, Muneerah Al (31 Μαΐου 2023). A Gentle Introduction to Group Theory. Springer Nature. ISBN 978-981-99-0147-0. 
• Lam, Tsit-Yuen (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics. 131 (2 έκδοση). Springer. ISBN 0-387-95183-0. 
• Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022. 
• Efrat, Ido (2006), Valuations, orderings, and Milnor K-theory, Mathematical Surveys and Monographs, 124, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4041-X,  
• DeBonis, Mark J. (11 Απριλίου 2024). Fundamentals of Abstract Algebra. CRC Press. ISBN 978-1-040-00930-7. 
• Greenberg, Marvin J. (2010), «Old and new results in the foundations of elementary plane Euclidean and non-Euclidean geometries», Am. Math. Mon. 117 (3): 198–219, doi:10.4169/000298910x480063, ISSN 0002-9890,  
• Iyanaga, Shôkichi; Kawada, Yukiyosi, επιμ.. (1980), Encyclopedic dictionary of mathematics, Volumes I, II, Translated from the 2nd Japanese edition, paperback version of the 1977 edition (1st έκδοση), MIT Press, ISBN 978-0-262-59010-5, https://archive.org/details/encyclopedicdict0000niho 
• Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1, , https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt 
• Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
• Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
• Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.