Πυρήνας (θεωρία κατηγοριών)

Στη θεωρία κατηγοριών^[1] και στις εφαρμογές της σε άλλους κλάδους των μαθηματικών, οι πυρήνες^[2]^[3]^[4] είναι μια γενίκευση των πυρήνων των ομομορφισμών ομάδων, των πυρήνων των ομομορφισμών των modules και ορισμένων άλλων πυρήνων που προέρχονται από την άλγεβρα. Διαισθητικά, ο πυρήνας του μορφισμού f : X → Y είναι ο πιο γενικός μορφισμός k : K → X που δίνει μηδέν όταν συντίθεται με τον (ακολουθούμενο από τον) f.

Ας σημειωθεί ότι τα ζεύγη πυρήνων και οι διαφορικοί πυρήνες (επίσης γνωστοί ως δυαδικοί εξισωτές^[5]) μερικές φορές φέρουν το όνομα "πυρήνας"- Αν και συνδέονται μεταξύ τους, δεν είναι απολύτως ταυτόσημα και δεν εξετάζονται σε αυτό το άρθρο.

Ορισμός

Έστω C μια κατηγορία. Για να οριστεί ένας πυρήνας με την γενική έννοια της θεωρίας κατηγοριών, η C πρέπει να έχει μηδενικούς μορφισμούς. Σε αυτή την περίπτωση, αν f : X → Y είναι ένας αυθαίρετος μορφισμός στο C, τότε ένας πυρήνας του f είναι ένας εξισωτής^[5] του f και του μηδενικού μορφισμού από το X στο Y. Με σύμβολα:

ker(f) = eq(f, 0_XY)

Ακριβέστερα, μπορεί να χρησιμοποιηθεί η ακόλουθη καθολική ιδιότητα. Ο πυρήνας του f είναι ένα αντικείμενο K μαζί με ένα μορφισμό k : K → X έτσι ώστε:

f ∘k είναι ο μηδενικός μορφισμός από το K στο Y;

Δεδομένου οποιουδήποτε μορφισμού k′ : K′ → X έτσι ώστε f ∘k′ iνα είναι ο μηδενικός μορφισμός, υπάρχει ένας μοναδικός μορφισμός u : K′ → K έτσι ώστε k∘u = k′.

Όπως για κάθε καθολική ιδιότητα, υπάρχει ένας μοναδικός ισομορφισμός μεταξύ δύο πυρήνων του ίδιου μορφισμού, και ο μορφισμός k είναι πάντα μονομορφισμός (με την κατηγορηματική έννοια). Ως εκ τούτου, είναι συνηθισμένο να μιλάμε για τον «πυρήνα» ενός μορφισμού. Σε συγκεκριμένες κατηγορίες, μπορεί κανείς να πάρει ένα υποσύνολο του X για το K οπότε ο μορφισμός k είναι η απεικόνιση εγκλεισμού. Αυτό επιτρέπει να μιλάμε για το K ως πυρήνα, αφού το k καθορίζεται πεπλεγμένα από το K. Υπάρχουν μη συγκεκριμένες κατηγορίες, όπου μπορεί κανείς να ορίσει με παρόμοιο τρόπο έναν «φυσικό» πυρήνα, έτσι ώστε το k να ορίζει πεπλεγμένα το k .

Δεν χρειάζεται κάθε μορφισμός να έχει πυρήνα, αλλά αν έχει, τότε όλοι οι πυρήνες του είναι ισομορφικοί με την ισχυρή έννοια: αν k : K → X και ℓ : L → X είναι πυρήνες του f : X → Y, τότε υπάρχει ένας μοναδικός ισομορφισμός φ : K → L έτσι ώστε ℓ∘φ = k.

Παραδείγματα

Οι πυρήνες είναι γνωστοί σε πολλές κατηγορίες της αφηρημένης άλγεβρας, όπως η κατηγορία των ομάδων ή η κατηγορία των (αριστερών) δομών πάνω σε ένα σταθερό δακτύλιο (συμπεριλαμβανομένων των διανυσματικών χώρων πάνω σε ένα σταθερό σώμα). Για να γίνουμε πιο σαφείς, αν f : X → Y είναι ένας ομομορφισμός σε μία από αυτές τις κατηγορίες και K είναι ο πυρήνας του με την συνήθη αλγεβρική έννοια, τότε Kείναι ένα υποαντικείμενο του X και ο ομομορφισμός συμπερίληψης από το K στο X είναι ένας πυρήνας με την κατηγορηματική έννοια.

Αξίζει να σημειωθεί ότι στην κατηγορία των μονοειδών, οι πυρήνες της θεωρίας κατηγοριών υπάρχουν όπως και για τις ομάδες, αλλά αυτοί οι πυρήνες δεν περιέχουν επαρκείς πληροφορίες για αλγεβρικούς σκοπούς. Επομένως, η έννοια του πυρήνα που μελετάται στη θεωρία των μονοειδών είναι ελαφρώς διαφορετική (βλ. #Σχέση με τους αλγεβρικούς πυρήνες παρακάτω).

Στην κατηγορία των μοναδιαίων δακτυλίων, δεν υπάρχουν πυρήνες με την έννοια της θεωρίας κατηγοριών. Πράγματι, αυτή η κατηγορία δεν έχει καν μηδενικούς μορφισμούς. Ωστόσο, υπάρχει ακόμα μια έννοια πυρήνα που μελετάται στη θεωρία δακτυλίων και που αντιστοιχεί στους πυρήνες στην κατηγορία των μη μοναδιαίων δακτυλίων.

Στην κατηγορία των σημειακών τοπολογικών χώρων, αν f : X → Y είναι μια συνεχής σημειακή απεικόνιση, τότε η προ-εικόνα του διακριτού σημείου, K, είναι ένας υποχώρος του X. Η απεικόνιση εγκλεισμού του K στο X είναι ο κατηγορικός πυρήνας του f.

Σχέση με άλλες κατηγορικές έννοιες

Η αντίθετη έννοια του πυρήνα είναι αυτή του συν-πυρήνα^[6]. Δηλαδή, ο πυρήνας ενός μορφισμού είναι ο συν-πυρήνας του στην αντίθετη κατηγορία, και το αντίστροφο.

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, ένας πυρήνας είναι ένας τύπος δυαδικού εξισωτή^[5] ή πυρήνα διαφοράς. Αντίστροφα, σε μια προαθροιστική κατηγορία, κάθε δυαδικός εξισωτής μπορεί να κατασκευαστεί ως πυρήνας. Συγκεκριμένα, ο εξισωτής των μορφισμών f και g είναι ο πυρήνας της διαφοράς g − f. Με σύμβολα:

eq (f, g) = ker (g − f).

Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο οι δυαδικοί εξισωτές^[5] ονομάζονται "πυρήνες διαφοράς" ακόμη και σε μη προσθετικές κατηγορίες όπου οι μορφισμοί δεν μπορούν να αφαιρεθούν.

Κάθε πυρήνας, όπως και κάθε άλλος εξισωτής, είναι μονομορφισμός. Αντίστροφα, ένας μονομορφισμός ονομάζεται κανονικός αν είναι ο πυρήνας κάποιου μορφισμού. Μια κατηγορία ονομάζεται κανονική αν κάθε μονομορφισμός είναι κανονικός.

Οι αβελιανές κατηγορίες^[7], ειδικότερα, είναι πάντα κανονικές. Σε αυτή την περίπτωση, ο πυρήνας του συν-πυρήνα^[6] οποιουδήποτε μορφισμού (ο οποίος υπάρχει πάντα σε μια αβελιανή κατηγορία) αποδεικνύεται ότι είναι η εικόνα αυτού του μορφισμού. Με σύμβολα:

im f = ker coker f (σε μια αβελιανή κατηγορία^[7])

Όταν το m είναι μονομορφισμός, πρέπει να είναι η ίδια του η εικόνα. Έτσι, όχι μόνο οι αβελιανές κατηγορίες^[7] είναι κανονικές, έτσι ώστε κάθε μονομορφισμός να είναι πυρήνας, αλλά γνωρίζουμε επίσης ποιος μορφισμός είναι πυρήνας του μονομορφισμού, δηλαδή ο συν-πυρήνας του. Με σύμβολα:

m = ker (coker m) (για μονομορφισμούς σε μια αβελιανή κατηγορία^[7])

Σχέση με αλγεβρικούς πυρήνες

Η καθολική άλγεβρα ορίζει την έννοια του πυρήνα για ομομορφισμούς μεταξύ δύο αλγεβρικών δομών του ίδιου είδους. Αυτή η έννοια του πυρήνα μετράει πόσο απέχει ο συγκεκριμένος ομομορφισμός από το να είναι ερριπτικός^[8]. Υπάρχει κάποια επικάλυψη μεταξύ αυτής της αλγεβρικής έννοιας και της κατηγορικής έννοιας του πυρήνα, καθώς και οι δύο γενικεύουν την κατάσταση των ομάδων και των ενοτήτων που αναφέρθηκε παραπάνω. Γενικά, ωστόσο, η καθολική-αλγεβρική έννοια του πυρήνα μοιάζει περισσότερο με την κατηγοριοθεωρητική έννοια του ζεύγους πυρήνων. Αναλυτικότερα, τα ζεύγη πυρήνων μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να ερμηνεύσουν τους πυρήνες στη θεωρία μονοειδών ή στη θεωρία δακτυλίων με κατηγοριοθεωρητικούς όρους.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου.
Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
Wolfram Mathematica Online Integrator
A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Carboni, Aurelio· Pedicchio, Maria C. (14 Νοεμβρίου 2006). Category Theory: Proceedings of the International Conference held in Como, Italy, July 22-28, 1990. Springer. ISBN 978-3-540-46435-8.
Awodey, Steve (2006). Category Theory. Ebsco Publishing. ISBN 978-0-19-151382-4.
Riehl, Emily (9 Μαρτίου 2017). Category Theory in Context. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-82080-4.
Levin, Alexander (19 Απριλίου 2008). Difference Algebra. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4020-6947-5.
Rowen, Louis Halle (2008). Graduate Algebra: Noncommutative View. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-8408-9.
Friedman, Joel (20 Δεκεμβρίου 2014). Sheaves on Graphs, Their Homological Invariants, and a Proof of the Hanna Neumann Conjecture. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-0988-3.
Facchini, Alberto (23 Οκτωβρίου 2019). Semilocal Categories and Modules with Semilocal Endomorphism Rings. Springer Nature. ISBN 978-3-030-23284-9.
Davydov, Alexei (2007). Categories in Algebra, Geometry and Mathematical Physics: Conference and Workshop in Honor of Ross Street's 60th Birthday, July 11-16/July 18-21, 2005, Macquarie University, Sydney, Australia, Australian National University, Canberra, Australia. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-3970-6.
Heunen, Chris (1 Νοεμβρίου 2009). Categorical Quantum Models and Logics. Amsterdam University Press. ISBN 978-90-8555-024-2.
Rowen, Louis Halle (2006). Graduate Algebra: Commutative View: Commutative View. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-0570-1.

Παραπομπές

↑ «Category Theory in Context - Emily Riehl» (PDF).
↑ «kernel in nLab». ncatlab.org. Ανακτήθηκε στις 29 Ιουλίου 2025.
↑ Rhodes, John· Steinberg, Benjamin (5 Απριλίου 2009). The q-theory of Finite Semigroups. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-09781-7.
↑ «Kernel and cokernel». MathOverflow (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 29 Ιουλίου 2025.
1 2 3 4 «equalizer in nLab». ncatlab.org (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 30 Ιουλίου 2025.
1 2 Lee, Sarah. «Cokernel in Set Theory and Category Theory». www.numberanalytics.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 30 Ιουλίου 2025.
1 2 3 4 Weisstein, Eric W. «Abelian Category». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 29 Ιουλίου 2025.
↑ «Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου - σελίδα 167 injective - ερριπτική ή ένα προς ένα» (PDF).

Cartan, Henri· Eilenberg, Samuel (1956). Homological algebra. Princeton Mathematical Series. 19. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. Zbl 0075.24305.
Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics. 5 (2nd έκδοση). New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001.
Eckmann, B.; Hilton, P. J. (1962), «Group-like structures in general categories. I. Multiplications and comultiplications», Mathematische Annalen 145 (3): 227–255, doi:10.1007/bf01451367 .
Hurewicz, W. (1935), Beitrage zur Topologie der Deformationen, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A, 38, σελ. 112-119, 521-528 .
Brown, R.; Higgins, P. J.; Sivera, R. (2011), Nonabelian algebraic topology: filtered spaces, crossed complexes, cubical homotopy groupoids, European Mathematical Society Tracts in Mathematics, 15, σελ. 703 .
Higgins, P. J. (2005), «Thin elements and commutative shells in cubical $\omega$-categories», Theory and Application of Categories 14: 60–74, http://www.tac.mta.ca/tac/volumes/14/4/14-04abs.html .
James, I.M. (1999), History of Topology, North Holland
Murray Bremner and Sara Madariaga. (2014) Permutation of elements in double semigroups
Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967), «Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie», Publications Mathématiques de l'IHÉS 32: 5–333, doi:10.1007/BF02732123, http://www.numdam.org/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1967__32_, ανακτήθηκε στις 2025-07-30
Grothendieck, Alexandre; Raynaud, Michèle (2003), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3), Paris: Société Mathématique de France, σελ. xviii+327, ISBN 978-2-85629-141-2
J. S. Milne (1980), Étale cohomology, Princeton, N.J: Princeton University Press, ISBN 0-691-08238-3, https://archive.org/details/etalecohomology00miln
Lind, D. A. (1968). «The quadratic field Q(√5) and a certain Diophantine equation». The Fibonacci Quarterly 6 (3): 86–93. doi:10.1080/00150517.1968.12431231. https://fq.math.ca/Scanned/6-3/lind.pdf.
Pleasants, Peter A. B. (2002). «Lines and Planes in 2- and 3-Dimensional Quasicrystals». Coverings of Discrete Quasiperiodic Sets. Springer Tracts in Modern Physics. 180. Springer. σελίδες 185–225. doi:10.1007/3-540-45805-0_6. ISBN 978-3-540-43241-8.
Polo-Blanco, I.; Top, J. (2009). «A remark on parameterizing nonsingular cubic surfaces». Computer Aided Geometric Design 26 (8): 842–849. doi:10.1016/j.cagd.2009.06.001.
Sloane, N. J. A. (επιμ.). «Sequence A003172 (Q(sqrt n) is a unique factorization domain (or simple quadratic field))». The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
Sporn, Howard (2021). «A group structure on the golden triples». The Mathematical Gazette 105 (562): 87–97. doi:10.1017/mag.2021.11.
Rosen, Michael (1981), «An elementary proof of the local Kronecker-Weber theorem», Transactions of the American Mathematical Society 265 (2): 599–605, doi:10.2307/1999753, ISSN 0002-9947

Πηγές

Subaiei, Bana Al· Nuwairan, Muneerah Al (31 Μαΐου 2023). A Gentle Introduction to Group Theory. Springer Nature. ISBN 978-981-99-0147-0.
Lam, Tsit-Yuen (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics. 131 (2 έκδοση). Springer. ISBN 0-387-95183-0.
Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022.
Efrat, Ido (2006), Valuations, orderings, and Milnor K-theory, Mathematical Surveys and Monographs, 124, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4041-X,
Zbl 1103.12002
DeBonis, Mark J. (11 Απριλίου 2024). Fundamentals of Abstract Algebra. CRC Press. ISBN 978-1-040-00930-7.
Greenberg, Marvin J. (2010), «Old and new results in the foundations of elementary plane Euclidean and non-Euclidean geometries», Am. Math. Mon. 117 (3): 198–219, doi:10.4169/000298910x480063, ISSN 0002-9890,
Zbl 1206.51015
Iyanaga, Shôkichi; Kawada, Yukiyosi, επιμ.. (1980), Encyclopedic dictionary of mathematics, Volumes I, II, Translated from the 2nd Japanese edition, paperback version of the 1977 edition (1st έκδοση), MIT Press, ISBN 978-0-262-59010-5, https://archive.org/details/encyclopedicdict0000niho
Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1,
Zbl 0516.12001
, https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt
Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

[1] «Category Theory in Context - Emily Riehl» (PDF).

[2] «kernel in nLab». ncatlab.org. Ανακτήθηκε στις 29 Ιουλίου 2025.

[3] Rhodes, John· Steinberg, Benjamin (5 Απριλίου 2009). The q-theory of Finite Semigroups. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-09781-7.

[4] «Kernel and cokernel». MathOverflow (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 29 Ιουλίου 2025.

[:2-5] 1 2 3 4 «equalizer in nLab». ncatlab.org (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 30 Ιουλίου 2025.

[:1-6] 1 2 Lee, Sarah. «Cokernel in Set Theory and Category Theory». www.numberanalytics.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 30 Ιουλίου 2025.

[:0-7] 1 2 3 4 Weisstein, Eric W. «Abelian Category». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 29 Ιουλίου 2025.

[8] «Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου - σελίδα 167 injective - ερριπτική ή ένα προς ένα» (PDF).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]