Μηδενικός μορφισμός

Στα μαθηματικά, και ειδικότερα στη θεωρία κατηγοριών, ο μηδενικός μορφισμός είναι ένας ειδικός τύπος μορφισμού με ορισμένες ιδιότητες παρόμοιες με εκείνες του μορφισμού από και προς ένα μηδενικό αντικείμενο.

Ορισμοί

Ας υποθέσουμε ότι η C είναι μια κατηγορία και ότι f : X → Y είναι ένας μορφισμός στη C. Ο μορφισμός f ονομάζεται σταθερός μορφισμός (ή μερικές φορές αριστερός μηδενικός μορφισμός) αν για κάθε αντικείμενο W στη C και κάθε g, h : W → X, fg = fh. Αντίστροφα, ο f καλείται συν-σταθερός μορφισμός (ή μερικές φορές δεξιός μηδενικός μορφισμός) αν για κάθε αντικείμενο Z στο C και κάθε g, h : Y → Z, gf = hf. Ένας μηδενικός μορφισμός είναι ένας μορφισμός που είναι ταυτόχρονα σταθερός μορφισμός και συν-σταθερός μορφισμός.

Μια κατηγορία με μηδενικούς μορφισμούς είναι μια κατηγορία όπου, για κάθε δύο αντικείμενα A και B στην C, υπάρχει ένας σταθερός μορφισμός 0_AB : A → B, και αυτή η συλλογή μορφισμών είναι τέτοια ώστε για όλα τα αντικείμενα X, Y, Z στο C και όλους τους μορφισμούς f : Y → Z, g : X → Y, το ακόλουθο διάγραμμα να είναι αντιμεταθετικό:

Οι μορφισμοί 0_XY είναι αναγκαστικά μηδενικοί μορφισμοί και σχηματίζουν ένα συμβατό σύστημα μηδενικών μορφισμών.

Αν η C είναι μια κατηγορία με μηδενικούς μορφισμούς, τότε η συλλογή 0_XY είναι μοναδική.

Αυτός ο τρόπος ορισμού ενός "μηδενικού μορφισμού" και της φράσης "μια κατηγορία με μηδενικούς μορφισμούς" ξεχωριστά είναι ατυχής, αλλά αν κάθε ομο-σύνολο έχει ένα μοναδικό "μηδενικό μορφισμό", τότε η κατηγορία "έχει μηδενικούς μορφισμούς".

Παραδείγματα

• Στην κατηγορία των ομάδων (ή των ενοτήτων), ένας μηδενικός μορφισμός είναι ένας ομομορφισμός f : G → H που απεικονίζει όλα τα στοιχεία της G στο στοιχείο ταυτότητας της H. Το μηδενικό αντικείμενο στην κατηγορία των ομάδων είναι η τετριμμένη ομάδα 1 = {1}, η οποία είναι μοναδική μέχρι ισομορφισμού. Κάθε μηδενικός μορφισμός μπορεί να παραγοντοποιηθεί μέσω του 1, δηλαδή f : G → 1 → H.
• Γενικότερα, ας υποθέσουμε ότι C είναι οποιαδήποτε κατηγορία με μηδενικό αντικείμενο 0. Τότε για όλα τα αντικείμενα X και Y υπάρχει μια μοναδική ακολουθία μορφισμών

  0_XY : X → 0 → Y

  Η οικογένεια όλων των μορφισμών που κατασκευάζονται με αυτόν τον τρόπο προσδίδει στην C τη δομή μιας κατηγορίας με μηδενικούς μορφισμούς.
• Αν η C είναι μια προ-προσθετική κατηγορία, τότε κάθε hom-σύνολο Hom(X,Y) είναι μια αβελιανή ομάδα και επομένως έχει ένα μηδενικό στοιχείο. Αυτά τα μηδενικά στοιχεία σχηματίζουν μια συμβατή οικογένεια μηδενικών μορφισμών για την C καθιστώντας την σε μια κατηγορία με μηδενικούς μορφισμούς.
• Η κατηγορία των συνόλων δεν έχει μηδενικό αντικείμενο, αλλά έχει ένα αρχικό αντικείμενο, το κενό σύνολο ∅. Οι μόνοι δεξιοί μηδενικοί μορφισμοί στο Σύνολο είναι οι συναρτήσεις ∅ → X για ένα σύνολο X.

Σχετικές έννοιες

Αν η C έχει μηδενικό αντικείμενο 0, δεδομένων δύο αντικειμένων X και Y στην C, υπάρχουν κανονικοί μορφισμοί f : X → 0 και g : 0 → Y. Τότε, ο gf iείναι μηδενικός μορφισμός στην Mor_C(X, Y). Έτσι, κάθε κατηγορία με μηδενικό αντικείμενο είναι μια κατηγορία με μηδενικούς μορφισμούς που δίνονται από τη σύνθεση 0_XY : X → 0 → Y.

Αν μια κατηγορία έχει μηδενικούς μορφισμούς, τότε μπορούμε να ορίσουμε τις έννοιες πυρήνας και συμπυρήνας για κάθε μορφισμό σε αυτή την κατηγορία.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου.
• Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Μορφοκλασματική διάσταση
• Ομοπαραλληλική γεωμετρία
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Αρχιμήδεια ιδιότητα
• Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Υπολογιστική ρευστοδυναμική
• Αβελιανή ομάδα
• Σύνθεση συνάρτησης
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Ένα προς ένα
• Συνήθης διαφορική εξίσωση
• Γραμμική απεικόνιση
• Αβελιανή ομάδα

Βιβλιογραφία

• Osborne, M. Scott (6 Δεκεμβρίου 2012). Basic Homological Algebra. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-1278-2. 
• Sen, Syamal K.· Agarwal, Ravi P. (6 Νοεμβρίου 2015). Zero: A Landmark Discovery, the Dreadful Void, and the Ultimate Mind. Academic Press. ISBN 978-0-12-804624-1. 
• Girko, Vyacheslav L. (23 Αυγούστου 2016). Spectral Theory of Random Matrices. Academic Press. ISBN 978-0-08-087352-7. 
• Kussin, Dirk (7 Αυγούστου 2009). Noncommutative Curves of Genus Zero: Related to Finite Dimensional Algebras. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-4400-7. 
• Heunen, Chris· Vicary, Jamie (14 Νοεμβρίου 2019). Categories for Quantum Theory: An Introduction. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-106006-9. <
• Dascalescu, Sorin· Nastasescu, Constantin (15 Σεπτεμβρίου 2000). Hopf Algebra: An Introduction. CRC Press. ISBN 978-1-4822-7074-7. 
• Facchini, Alberto (23 Οκτωβρίου 2019). Semilocal Categories and Modules with Semilocal Endomorphism Rings. Springer Nature. ISBN 978-3-030-23284-9. 
• Brzezinski, Tomasz· Wisbauer, Robert (15 Σεπτεμβρίου 2003). Corings and Comodules. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-53931-9. 
• Kriz, Igor· Kriz, Sophie (13 Μαρτίου 2021). Introduction to Algebraic Geometry. Springer Nature. ISBN 978-3-030-62644-0. 
• Borceux, Francis (1994). Handbook of Categorical Algebra: Categories and structures. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-44179-7. 

Παραπομπές

• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1966). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 28: 5–255. doi:10.1007/bf02684343. MR 0217086.
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 32: 5–361. doi:10.1007/bf02732123. MR 0238860.
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
• Shafarevich, Igor R. (2013). Basic Algebraic Geometry 1. Springer Science. doi:10.1007/978-3-642-37956-7. ISBN 978-0-387-97716-4.
• Μηδενικός μορφισμός στο Mathematics Genealogy Project
• Dummit, David S.· Foote, Richard M. (2004). Abstract algebra (3rd έκδοση). Hoboken, NJ: Wiley. ISBN 9780471452348. OCLC 248917264. 
• Gallian, Joseph A. (2013). Contemporary abstract algebra (8th έκδοση). Boston, MA: Brooks/Cole Cengage Learning. ISBN 978-1-133-59970-8. OCLC 807255720. 
• Kurzweil, Hans· Stellmacher, Bernd (1998). Theorie der endlichen Gruppen. Springer-Lehrbuch. doi:10.1007/978-3-642-58816-7. ISBN 978-3-540-60331-3. 
• Ash, Robert B. (2002). Abstract Algebra: The Basic Graduate Year (στα Αγγλικά). Department of Mathematics University of Illinois. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 27 Σεπτεμβρίου 2021. Ανακτήθηκε στις 19 Ιουλίου 2025. 
• Jacobson, Nathan (8 Ιουνίου 2012). Basic Algebra II: Second Edition. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-13521-2. 
• Kantor, I.L.; Solodovnikov, A.S. (1989), «Normed algebras with an identity. Hurwitz's theorem.», Hypercomplex numbers. An elementary introduction to algebras (2nd έκδοση), Springer-Verlag, σελ. 121, ISBN 978-0-387-96980-0, , https://archive.org/details/hypercomplexnumb0000kant/page/121 
• Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1, , https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt 
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. en:Graduate Studies in Mathematics. 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. Zbl 1068.11023. 
• Lind, D. A. (1968). «The quadratic field Q(√5) and a certain Diophantine equation». The Fibonacci Quarterly 6 (3): 86–93. doi:10.1080/00150517.1968.12431231. https://fq.math.ca/Scanned/6-3/lind.pdf. 
• Pleasants, Peter A. B. (2002). «Lines and Planes in 2- and 3-Dimensional Quasicrystals». Coverings of Discrete Quasiperiodic Sets. Springer Tracts in Modern Physics. 180. Springer. σελίδες 185–225. doi:10.1007/3-540-45805-0_6. ISBN 978-3-540-43241-8. 
• Polo-Blanco, I.; Top, J. (2009). «A remark on parameterizing nonsingular cubic surfaces». Computer Aided Geometric Design 26 (8): 842–849. doi:10.1016/j.cagd.2009.06.001. 
• Sloane, N. J. A. (επιμ.). «Sequence A003172 (Q(sqrt n) is a unique factorization domain (or simple quadratic field))». The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 
• Sporn, Howard (2021). «A group structure on the golden triples». The Mathematical Gazette 105 (562): 87–97. doi:10.1017/mag.2021.11. 
• Rosen, Michael (1981), «An elementary proof of the local Kronecker-Weber theorem», Transactions of the American Mathematical Society 265 (2): 599–605, doi:10.2307/1999753, ISSN 0002-9947 

Πηγές

• Subaiei, Bana Al· Nuwairan, Muneerah Al (31 Μαΐου 2023). A Gentle Introduction to Group Theory. Springer Nature. ISBN 978-981-99-0147-0. 
• Lam, Tsit-Yuen (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics. 131 (2 έκδοση). Springer. ISBN 0-387-95183-0. 
• Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022. 
• Efrat, Ido (2006), Valuations, orderings, and Milnor K-theory, Mathematical Surveys and Monographs, 124, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4041-X,  
• DeBonis, Mark J. (11 Απριλίου 2024). Fundamentals of Abstract Algebra. CRC Press. ISBN 978-1-040-00930-7. 
• Greenberg, Marvin J. (2010), «Old and new results in the foundations of elementary plane Euclidean and non-Euclidean geometries», Am. Math. Mon. 117 (3): 198–219, doi:10.4169/000298910x480063, ISSN 0002-9890,  
• Iyanaga, Shôkichi; Kawada, Yukiyosi, επιμ.. (1980), Encyclopedic dictionary of mathematics, Volumes I, II, Translated from the 2nd Japanese edition, paperback version of the 1977 edition (1st έκδοση), MIT Press, ISBN 978-0-262-59010-5, https://archive.org/details/encyclopedicdict0000niho 
• Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1, , https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt 
• Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
• Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
• Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.