Μηδενικό αντικείμενο (άλγεβρα)

Στην άλγεβρα, το μηδενικό αντικείμενο^[1]^[2]^[3] μιας δεδομένης αλγεβρικής δομής είναι, με την έννοια που εξηγείται παρακάτω, το απλούστερο αντικείμενο μιας τέτοιας δομής. Ως σύνολο είναι ένα μονοσύνολο, και ως μάγμα έχει μια ασήμαντη δομή, η οποία είναι επίσης μια αβελιανή ομάδα. Η προαναφερθείσα αβελιανή δομή ομάδας συνήθως ταυτίζεται με την πρόσθεση, και το μοναδικό στοιχείο ονομάζεται μηδέν, οπότε το ίδιο το αντικείμενο συνήθως συμβολίζεται ως {0}. Συχνά αναφέρεται το ασήμαντο αντικείμενο (μιας συγκεκριμένης κατηγορίας), καθώς κάθε τετριμμένο αντικείμενο είναι ισομορφικό με οποιοδήποτε άλλο (υπό έναν μοναδικό ισομορφισμό).

Περιπτώσεις

Οι περιπτώσεις του αντικειμένου μηδέν περιλαμβάνουν, μεταξύ άλλων, τα ακόλουθα^[4]:

Ως ομάδα, η μηδενική ομάδα ή τετριμμένη ομάδα.
Ως δακτύλιος, ο μηδενικός δακτύλιος ή τετριμμένος δακτύλιος.
Ως άλγεβρα πάνω σε ένα σώμα ή άλγεβρα πάνω σε ένα δακτύλιο, η τετριμμένη άλγεβρα.
Ως πρότυπο (πάνω σε ένα δακτύλιο $R$ ), το μηδενικό πρότυπο. Ο όρος τετριμμένο πρότυπο^[5] χρησιμοποιείται επίσης, αν και μπορεί να είναι ασαφής, καθώς ένα τετριμμένο G-πρότυπο είναι ένα G-πρότυπο με τετριμμένη δράση.
Ως διανυσματικός χώρος (πάνω σε ένα σώμα $R$ ), ο μηδενικός διανυσματικός χώρος, μηδενικής διάστασης διανυσματικός χώρος ή απλά μηδενικός χώρος.

Αυτά τα αντικείμενα περιγράφονται από κοινού όχι μόνο με βάση την κοινή δομή των μονοσύνολων και των ασήμαντων ομάδων, αλλά και λόγω των κοινών ιδιοτήτων της θεωρίας κατηγοριών.

Στις τρεις τελευταίες περιπτώσεις, ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός με ένα στοιχείο του βασικού δακτυλίου (ή σώματος) ορίζεται ως:

κ 0 = 0

, όπου

κ \in R

.

Το πιο γενικό από αυτά, το μηδενικό πρότυπο, είναι ένα πρότυπο πεπερασμένης παραγωγής με κενό σύνολο παραγωγής.

Για δομές που απαιτούν τη δομή πολλαπλασιασμού μέσα στο αντικείμενο μηδέν, όπως ο ασήμαντος δακτύλιος, υπάρχει μόνο μία δυνατότητα, $0 \times 0 = 0$ , επειδή δεν υπάρχουν στοιχεία διαφορετικά από το μηδέν. Αυτή η δομή είναι προσεταιριστική και αντιμεταθετική. Ένας δακτύλιος $R$ που έχει τόσο προσθετική όσο και ταυτοτικό πολλαπλασιαστικό στοιχείο είναι ασήμαντος αν και μόνο αν $1 = 0$ , καθώς αυτή η ισότητα υποδηλώνει ότι για όλα τα $r$ εντός του $R$ ,

r=r\times 1=r\times 0=0.

Σε αυτή την περίπτωση είναι δυνατό να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν, καθώς το μοναδικό στοιχείο είναι το ίδιο το πολλαπλασιαστικό του αντίστροφο. Ορισμένες ιδιότητες του {0} εξαρτώνται από τον ακριβή ορισμό της πολλαπλασιαστικής ταυτότητας. βλ. #Μοναδικές δομές παρακάτω.

Κάθε τετριμμένη άλγεβρα είναι επίσης ένας τετριμμένος δακτύλιος. Μια τετριμμένη άλγεβρα πάνω σε ένα σώμα είναι ταυτόχρονα ένας μηδενικός διανυσματικός χώρος που εξετάζεται παρακάτω. Πάνω σε έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο, μια τετριμμένη άλγεβρα είναι ταυτόχρονα ένα μηδενικό πρότυπο.

Ο τετριμμένος δακτύλιος ως παράδειγμα ενός rng (ψευδο-δακτυλίου) με τετράγωνο μηδέν. Μια τετριμμένη άλγεβρα ως παράδειγμα μιας μηδενικής άλγεβρας.

Ο μηδενικός διανυσματικός χώρος είναι ένα ιδιαίτερα διαδεδομένο παράδειγμα μηδενικού αντικειμένου, ένας διανυσματικός χώρος πάνω σε ένα σώμα με κενή βάση. Επομένως, έχει διάσταση μηδέν. Είναι επίσης μια ασήμαντη ομάδα πάνω στην πρόσθεση και ένα τετριμμένο προτύπο που αναφέρθηκε παραπάνω.

Ιδιότητες

2↕	${\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}$	=	${\begin{bmatrix}\,\\\,\end{bmatrix}}$	[ ]	‹0
	↔ 1		^ 0	↔ 1
Το στοιχείο του μηδενικού χώρου, που γράφεται ως διάνυσμα κενής στήλης (το δεξιότερο), πολλαπλασιάζεται με τον κενό πίνακα 2×0 για να ληφθεί ο δισδιάστατος μηδενικός διάνυσμα (το αριστερότερο). Τηρούνται οι κανόνες του πολλαπλασιασμού πινάκων.

Ο μηδενικός δακτύλιος, το μηδενικό πρότυπο και ο μηδενικός διανυσματικός χώρος είναι τα μηδενικά αντικείμενα, αντίστοιχα, της κατηγορίας των ψευδοδακτυλίων, της κατηγορίας των προτύπων και της κατηγορίας των διανυσματικών χώρων. Ωστόσο, ο μηδενικός δακτύλιος δεν είναι μηδενικό αντικείμενο στην κατηγορία των δακτυλίων, καθώς δεν υπάρχει ομομορφισμός δακτυλίου του μηδενικού δακτυλίου σε κανέναν άλλο δακτύλιο.^[6]

Το μηδενικό αντικείμενο, εξ ορισμού, πρέπει να είναι τελικό αντικείμενο, πράγμα που σημαίνει ότι πρέπει να υπάρχει ένας μορφισμός $A \to {0}$ και να είναι μοναδικός για ένα τυχαίο αντικείμενο $A$ . Αυτός ο μορφισμός εφαρμόζει την απεικόνιση κάθε στοιχείου του $A$ στο $0$ .

Το μηδενικό αντικείμενο, επίσης εξ ορισμού, πρέπει να είναι ένα αρχικό αντικείμενο, πράγμα που σημαίνει ότι πρέπει να υπάρχει ένας μορφισμός ${0} \to A$ και να είναι μοναδικός για ένα τυχαίο αντικείμενο $A$ . Αυτός ο μορφισμός αποτελεί την απεικόνιση του $0$ , το μοναδικό στοιχείο του ${0}$ , στο μηδενικό στοιχείο $0 \in A$ , που ονομάζεται μηδενικός διάνυσμα στους διανυσματικούς χώρους. Αυτή η απεικόνιση είναι μονομορφισμός και, ως εκ τούτου, η εικόνα της είναι ισομορφική με ${0}$ . Για τα πρότυπα και τους διανυσματικούς χώρους, αυτό το υποσύνολο ${0} \subset A$ είναι το μόνο υποσύνολο που παράγεται από υποπρότυπα (ή 0-διάστατος γραμμικός υποχώρος) σε κάθε πρότυπο (ή διανυσματικό χώρο) $A$ .

Μοναδικές δομές

Το αντικείμενο ${0}$ είναι ένα τελικό αντικείμενο οποιασδήποτε αλγεβρικής δομής όπου υπάρχει, όπως περιγράφηκε στα παραπάνω παραδείγματα. Ωστόσο, η ύπαρξή του και, εάν υπάρχει, η ιδιότητά του να είναι αρχικό αντικείμενο (και, ως εκ τούτου, ένα μηδενικό αντικείμενο με την έννοια της κατηγοριακής θεωρίας) εξαρτώνται από τον ακριβή ορισμό του πολλαπλασιαστικού ταυτοτικού στοιχείου 1 σε μια συγκεκριμένη δομή.

Εάν ο ορισμός του $1$ απαιτεί ότι $1 \neq 0$ , τότε το αντικείμενο ${0}$ δεν μπορεί να υπάρχει, επειδή μπορεί να περιέχει μόνο ένα στοιχείο. Συγκεκριμένα, ο δακτύλιος του μηδενός δεν είναι σώμα. Αν οι μαθηματικοί αναφέρονται μερικές φορές σε ένα σώμα με ένα στοιχείο, αυτό το αφηρημένο και κάπως μυστηριώδες μαθηματικό αντικείμενο δεν είναι σώμα.

Σε κατηγορίες όπου το ταυτοτικό πολλαπλασιαστικό στοιχείο πρέπει να διατηρείται από μορφισμούς, αλλά μπορεί να ισούται με το μηδέν, το αντικείμενο ${0}$ μπορεί να υπάρχει. Όμως, δεν μπορεί να υπάρχει ως αρχικό αντικείμενο, επειδή δεν υπάρχουν μορφισμοί που διατηρούν την ταυτότητα από το ${0}$ σε οποιοδήποτε αντικείμενο όπου $1 \neq 0$ . Παραδείγματος χάριν, στην κατηγορία των δακτυλίων Ring ο δακτύλιος των ακεραίων Z είναι το αρχικό αντικείμενο, όχι ${0}$ .

Εάν μια αλγεβρική δομή απαιτεί ταυτοτικό πολλαπλασιαστικό στοιχείο, αλλά ούτε τη διατήρησή του από μορφισμούς ούτε $1 \neq 0$ , τότε υπάρχουν μηδενικοί μορφισμοί και η κατάσταση δεν διαφέρει από τις μη ενιαίες δομές που εξετάστηκαν στην προηγούμενη ενότητα.^[7]

Σημειογραφία

Οι μηδενικοί διανυσματικοί χώροι και τα μηδενικά πρότυπα συνήθως συμβολίζονται με $0$ (αντί για ${0}$ ). Αυτό ισχύει πάντα όταν εμφανίζονται σε μια ακριβή ακολουθία.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου.
Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
Wolfram Mathematica Online Integrator
A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Gorodentsev, Alexey L. (12 Φεβρουαρίου 2017). Algebra II: Textbook for Students of Mathematics. Springer. ISBN 978-3-319-50853-5.
Kompaniec, V. P. (1968). Fourteen Papers on Algebra, Topology, Algebraic and Differential Geometry. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-1773-5.
Faith, Carl (6 Δεκεμβρίου 2012). Algebra: Rings, Modules and Categories I. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-80634-6.
Plotkin, B. (6 Δεκεμβρίου 2012). Universal Algebra, Algebraic Logic, and Databases. Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-011-0820-1.
Bourn, Dominique (13 Ιουνίου 2017). From Groups to Categorial Algebra: Introduction to Protomodular and Mal’tsev Categories. Birkhäuser. ISBN 978-3-319-57219-2.
Manes, Ernest G.· Arbib, Michael A. (6 Δεκεμβρίου 2012). Algebraic Approaches to Program Semantics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-4962-7.
Gallier, Jean H.· Quaintance, Jocelyn (19 Ιανουαρίου 2022). Homology, Cohomology, And Sheaf Cohomology For Algebraic Topology, Algebraic Geometry, And Differential Geometry. World Scientific. ISBN 978-981-12-4504-6.
Osborne, M. Scott (6 Δεκεμβρίου 2012). Basic Homological Algebra. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-1278-2.
Borceux, Francis (1994). Handbook of Categorical Algebra: Categories and structures. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-44179-7.
Grandis, Marco (24 Δεκεμβρίου 2021). Algebraic Topology: A Structural Introduction. World Scientific. ISBN 978-981-12-4837-5.

Παραπομπές

↑ «zero object in nLab». ncatlab.org (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 26 Αυγούστου 2025.
↑ Lee, Sarah. «The Role of Zero Objects in Modern Mathematics». www.numberanalytics.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 27 Αυγούστου 2025.
↑ «zero object in the category of group schemes». Mathematics Stack Exchange (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 27 Αυγούστου 2025.
↑ «Zero object (algebra) explained». everything.explained.today. Ανακτήθηκε στις 26 Αυγούστου 2025.
↑ Weisstein, Eric W. «Trivial Module». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 27 Αυγούστου 2025.
↑ Weisstein, Eric W. «Zero Product Property». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 27 Αυγούστου 2025.
↑ Clementino, Maria Manuel· Facchini, Alberto (16 Οκτωβρίου 2021). New Perspectives in Algebra, Topology and Categories: Summer School, Louvain-la-Neuve, Belgium, September 12-15, 2018 and September 11-14, 2019. Springer Nature. ISBN 978-3-030-84319-9.

Borceux, Francis (2008). Handbook of Categorical Algebra 2: Categories and Structures. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-06122-3. ^{(Section 1.2)}
Garner, Richard (2008). «Polycategories via pseudo-distributive laws». Advances in Mathematics 218 (3): 781–827. doi:10.1016/j.aim.2008.02.001.
Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics. 5 (2nd έκδοση). Springer. ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001.
Pedicchio, Maria Cristina· Tholen, Walter, επιμ. (2004). Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 97. Cambridge University Press. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001.
Theory of Categories. Academic Press. 1 Ιανουαρίου 1965. ISBN 978-0-08-087329-9.
Awodey, Steve (2010), Category theory (2nd έκδοση), Oxford: Oxford University Press, ISBN 9780199237180, OCLC 740446073
Gleason, Andrew M. (1958), «Projective topological spaces», Illinois Journal of Mathematics 2 (4A): 482–489, doi:10.1215/ijm/1255454110
Mac Lane, Saunders (1978), Categories for the Working Mathematician (Second έκδοση), New York, NY: Springer New York, σελ. 114, ISBN 1441931236, OCLC 851741862
Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.
Borceux, Francis (1994). Handbook of Categorical Algebra. Volume 1: Basic Category Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0521061193.
Riehl, Emily (2016). Category Theory in Context. Dover Publications, Inc Mineola, New York. ISBN 9780486809038.
Tsalenko, M.S.· Shulgeifer, E.G. (1974). Foundations of category theory. Nauka. ISBN 5-02-014427-4.
Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Epimorphism», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/e035890
Drozd, Yu. A.; Kirichenko, V.V. (1994), Finite Dimensional Algebras, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-53380-X
Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd έκδοση), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Endomorphism ring», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/e035610
Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 2 (2nd έκδοση), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7
Passman, Donald S. (1991), A Course in Ring Theory, Pacific Grove: Wadsworth & Brooks/Cole, ISBN 0-534-13776-8, https://books.google.com/books?id=hQTvAAAAMAAJ&q=endomorphism+ring
Wisbauer, Robert (1991), Foundations of module and ring theory, Algebra, Logic and Applications, 3 (Revised and translated from the 1988 German έκδοση), Philadelphia, PA: Gordon and Breach Science Publishers, σελ. xii+606, ISBN 2-88124-805-5, https://archive.org/details/foundationsofmod0003wisb/page/ A handbook for study and research
Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967), «Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie», Publications Mathématiques de l'IHÉS 32: 5–333, doi:10.1007/BF02732123, http://www.numdam.org/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1967__32_, ανακτήθηκε στις 2025-08-27
Grothendieck, Alexandre; Raynaud, Michèle (2003), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3), Paris: Société Mathématique de France, σελ. xviii+327, ISBN 978-2-85629-141-2
J. S. Milne (1980), Étale cohomology, Princeton, N.J: Princeton University Press, ISBN 0-691-08238-3, https://archive.org/details/etalecohomology00miln
Lind, D. A. (1968). «The quadratic field Q(√5) and a certain Diophantine equation». The Fibonacci Quarterly 6 (3): 86–93. doi:10.1080/00150517.1968.12431231. https://fq.math.ca/Scanned/6-3/lind.pdf.
Pleasants, Peter A. B. (2002). «Lines and Planes in 2- and 3-Dimensional Quasicrystals». Coverings of Discrete Quasiperiodic Sets. Springer Tracts in Modern Physics. 180. Springer. σελίδες 185–225. doi:10.1007/3-540-45805-0_6. ISBN 978-3-540-43241-8.
Polo-Blanco, I.; Top, J. (2009). «A remark on parameterizing nonsingular cubic surfaces». Computer Aided Geometric Design 26 (8): 842–849. doi:10.1016/j.cagd.2009.06.001.
Sloane, N. J. A. (επιμ.). «Sequence A003172 (Q(sqrt n) is a unique factorization domain (or simple quadratic field))». The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
Sporn, Howard (2021). «A group structure on the golden triples». The Mathematical Gazette 105 (562): 87–97. doi:10.1017/mag.2021.11.
Rosen, Michael (1981), «An elementary proof of the local Kronecker-Weber theorem», Transactions of the American Mathematical Society 265 (2): 599–605, doi:10.2307/1999753, ISSN 0002-9947

Πηγές

Subaiei, Bana Al· Nuwairan, Muneerah Al (31 Μαΐου 2023). A Gentle Introduction to Group Theory. Springer Nature. ISBN 978-981-99-0147-0.
Lam, Tsit-Yuen (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics. 131 (2 έκδοση). Springer. ISBN 0-387-95183-0.
Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022.
Efrat, Ido (2006), Valuations, orderings, and Milnor K-theory, Mathematical Surveys and Monographs, 124, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4041-X,
Zbl 1103.12002
DeBonis, Mark J. (11 Απριλίου 2024). Fundamentals of Abstract Algebra. CRC Press. ISBN 978-1-040-00930-7.
Greenberg, Marvin J. (2010), «Old and new results in the foundations of elementary plane Euclidean and non-Euclidean geometries», Am. Math. Mon. 117 (3): 198–219, doi:10.4169/000298910x480063, ISSN 0002-9890,
Zbl 1206.51015
Iyanaga, Shôkichi; Kawada, Yukiyosi, επιμ.. (1980), Encyclopedic dictionary of mathematics, Volumes I, II, Translated from the 2nd Japanese edition, paperback version of the 1977 edition (1st έκδοση), MIT Press, ISBN 978-0-262-59010-5, https://archive.org/details/encyclopedicdict0000niho
Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1,
Zbl 0516.12001
, https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt
Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

[1] «zero object in nLab». ncatlab.org (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 26 Αυγούστου 2025.

[2] Lee, Sarah. «The Role of Zero Objects in Modern Mathematics». www.numberanalytics.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 27 Αυγούστου 2025.

[3] «zero object in the category of group schemes». Mathematics Stack Exchange (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 27 Αυγούστου 2025.

[4] «Zero object (algebra) explained». everything.explained.today. Ανακτήθηκε στις 26 Αυγούστου 2025.

[5] Weisstein, Eric W. «Trivial Module». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 27 Αυγούστου 2025.

[6] Weisstein, Eric W. «Zero Product Property». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 27 Αυγούστου 2025.

[7] Clementino, Maria Manuel· Facchini, Alberto (16 Οκτωβρίου 2021). New Perspectives in Algebra, Topology and Categories: Summer School, Louvain-la-Neuve, Belgium, September 12-15, 2018 and September 11-14, 2019. Springer Nature. ISBN 978-3-030-84319-9.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]