Μεσοκάθετο επίπεδο ευθυγράμμου τμήματος

Το μεσοκάθετο επίπεδο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ.

Στην στερεομετρία, μεσοκάθετο επίπεδο ενός ευθυγράμμου τμήματος είναι το επίπεδο το οποίο διέρχεται από το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος και είναι κάθετο σε αυτό.

Το μεσοκάθετο επίπεδο γενικεύει την έννοια της μεοσκάθετης ευθυγράμμου τμήματος στην επιπεδομετρία, καθώς είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος στις τρεις διαστάσεις.

Διανυσματική εξίσωση

Το μεσοκάθετο επίπεδο του ευθυγράμμου τμήματος με άκρα τα $\mathbf {a}$ και $\mathbf {b}$ έχει εξίσωση

$(\mathbf {b} -\mathbf {a} )\cdot \mathbf {x} ={\frac {1}{2}}(\|\mathbf {b} \|^{2}-\|\mathbf {a} \|^{2})$

Απόδειξη  

Το επίπεδο διέρχεται από το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ${\rm {AB}}$ δηλαδή συμπεριλαμβάνει το σημείο $\mathbf {x} _{0}={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {a} +\mathbf {b} )$. Επιπλέον το επίπεδο είναι κάθετο στο ευθύγραμμο τμήμα $\mathbf {n} =\mathbf {b} -\mathbf {a}$, επομένως το επίπεδο περιλαμβάνει όλα τα σημεία $\mathbf {x}$ για τα οποία

$\mathbf {n} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})=0$

ή ισοδύναμα

$(\mathbf {b} -\mathbf {a} )\cdot \mathbf {x} ={\frac {1}{2}}(\|\mathbf {b} \|^{2}-\|\mathbf {a} \|^{2})$.

Αναλυτική γεωμετρία

Ισοδύναμα, αν $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})$ και $\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3})$ τότε η εξίσωση του μεσοκάθετου επιπέδου είναι

$(b_{1}-a_{1})x+(b_{2}-a_{2})y+(b_{3}-a_{3})z={\frac {1}{2}}(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}-a_{1}^{2}-a_{2}^{2}-a_{3}^{2})$.

Το μεσοκάθετο επίπεδο ως γεωμετρικός τόπος

Θεώρημα —  Το μεσοκάθετο επίπεδο ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος.

Απόδειξη  

Αναζητούμε όλα τα σημεία ${\rm {P}}=(x,y,z)$ του επιπέδου για τα οποία ισχύει ότι ${\rm {PA}}={\rm {PB}}$. Δηλαδή, από τον ορισμό της Ευκλείδειας απόστασης

${\sqrt {(x-a_{1})^{2}+(y-a_{2})^{2}+(z-a_{3})^{2}}}={\sqrt {(x-b_{1})^{2}+(y-b_{2})^{2}+(z-b_{3})^{2}}}$,

ισοδύναμα

$(x-a_{1})^{2}+(y-a_{2})^{2}+(z-a_{3})^{2}=(x-b_{1})^{2}+(y-b_{2})^{2}+(z-b_{3})^{2}$,

ή χρησιμοποιώντας την ταυτότητα για το τετράγωνο αθροίσματος $(\alpha +\beta )^{2}=\alpha ^{2}+2\alpha \beta +\beta ^{2}$

$-2xa_{1}+a_{1}^{2}-2ya_{2}+a_{2}^{2}-2za_{3}+a_{3}^{2}=-2xb_{1}+b_{1}^{2}-2yb_{2}+b_{2}^{2}-2zb_{3}+b_{3}^{2}$.

Αναδιατάσσοντας λαμβάνουμε ότι

$(b_{1}-a_{1})x+(b_{2}-a_{2})y+(b_{3}-a_{3})z={\frac {1}{2}}(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}-a_{1}^{2}-a_{2}^{2}-a_{3}^{2})$,

που είναι η εξίσωση για το μεσοκάθετο επίπεδο.

Δείτε επίσης

• Μεσοκάθετη ευθύγραμμου τμήματος