Συνάρτηση Βαϊνγκάρτεν

Στα μαθηματικά, οι συναρτήσεις Βαϊνγκάρτεν είναι ρητές συναρτήσεις που αναγράφονται από κατατμήσεις ακεραίων αριθμών, οι οποίες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων των γινομένων των συντελεστών πινάκων πάνω σε κλασικές ομάδες. Μελετήθηκαν για πρώτη φορά από τον Βαϊνγκάρτεν (Weingarten (1978)), ο οποίος βρήκε την ασυμπτωτική τους συμπεριφορά, και ονομάστηκαν από τον Κόλινς (Collins (2003)), ο οποίος τις αξιολόγησε ρητά για την μοναδιαία ομάδα.

Μοναδιαίες ομάδες

Οι συναρτήσεις Βαϊνγκάρτεν χρησιμοποιούνται για την αξιολόγηση ολοκληρωμάτων πάνω από την μοναδιαία ομάδα U_d των γινομένων των συντελεστών των πινάκων της μορφής

$\int _{U_{d}}U_{i_{1}j_{1}}\cdots U_{i_{q}j_{q}}U_{i_{1}^{\prime }j_{1}^{\prime }}^{*}\cdots U_{i_{q}^{\prime }j_{q}^{\prime }}^{*}dU,$

όπου $*$ δηλώνει τη μιγαδική συζυγία. Ας σημειωθεί ότι $U_{ji}^{*}=(U^{\dagger })_{ij}$ όπου $U^{\dagger }$ είναι η συζυγής μεταφορά του $U$, οπότε μπορεί κανείς να ερμηνεύσει την παραπάνω έκφραση ως για το στοιχείο του $i_{1}j_{1}\ldots i_{q}j_{q}j'_{1}i'_{1}\ldots j'_{q}i'_{q}$ πίνακα του $U\otimes \cdots \otimes U\otimes U^{\dagger }\otimes \cdots \otimes U^{\dagger }$.

Αυτό το ολοκλήρωμα ισούται με

$\sum _{\sigma ,\tau \in S_{q}}\delta _{i_{1}i_{\sigma (1)}^{\prime }}\cdots \delta _{i_{q}i_{\sigma (q)}^{\prime }}\delta _{j_{1}j_{\tau (1)}^{\prime }}\cdots \delta _{j_{q}j_{\tau (q)}^{\prime }}W\!g(\sigma \tau ^{-1},d)$

όπου Wg είναι η συνάρτηση Βαϊνγκάρτεν, που δίνεται από τη σχέση

$W\!g(\sigma ,d)={\frac {1}{q!^{2}}}\sum _{\lambda }{\frac {\chi ^{\lambda }(1)^{2}\chi ^{\lambda }(\sigma )}{s_{\lambda ,d}(1)}}$

όπου το άθροισμα αφορά όλα τα τμήματα λ του q Κόλινς ((Collins 2003)). Εδώ χλ είναι ο χαρακτήρας του S_q που αντιστοιχεί στο διαμέρισμα λ και s είναι το πολυώνυμο Schur του λ, έτσι ώστε s_λd(1)) είναι η διάσταση της αναπαράστασης του U_d που αντιστοιχεί στο λ.

Οι συναρτήσεις Βαϊνγκάρτεν είναι ρητές συναρτήσεις στο d. Μπορούν να έχουν πόλους για μικρές τιμές του d, οι οποίοι ακυρώνονται στον παραπάνω τύπο. Υπάρχει ένας εναλλακτικός μη ισοδύναμος ορισμός των συναρτήσεων Βαϊνγκάρτεν, όπου αθροίζουμε μόνο πάνω σε διαμερίσεις με το πολύ d μέρη. Αυτό δεν είναι πλέον μια ρητή συνάρτηση του d, αλλά είναι πεπερασμένη για όλους τους θετικούς ακέραιους d. Τα δύο είδη συναρτήσεων Βαϊνγκάρτεν συμπίπτουν για d μεγαλύτερο από q, και οποιοδήποτε από τα δύο μπορεί να χρησιμοποιηθεί στον τύπο για το ολοκλήρωμα.

Τιμές της συνάρτησης Βαϊνγκάρτεν για απλές μεταθέσεις

Οι πρώτες συναρτήσεις Βαϊνγκάρτεν Wg(σ, d) είναι

$\displaystyle W\!g(,d)=1$ (Η τετριμμένη περίπτωση όπου q = 0)

$\displaystyle W\!g(1,d)={\frac {1}{d}}$

$\displaystyle W\!g(2,d)={\frac {-1}{d(d^{2}-1)}}$

$\displaystyle W\!g(1^{2},d)={\frac {1}{d^{2}-1}}$

$\displaystyle W\!g(3,d)={\frac {2}{d(d^{2}-1)(d^{2}-4)}}$

$\displaystyle W\!g(21,d)={\frac {-1}{(d^{2}-1)(d^{2}-4)}}$

$\displaystyle W\!g(1^{3},d)={\frac {d^{2}-2}{d(d^{2}-1)(d^{2}-4)}}$

$\displaystyle W\!g(4,d)={\frac {-5}{d(d^{2}-1)(d^{2}-4)(d^{2}-9)}}$

$\displaystyle W\!g(31,d)={\frac {2d^{2}-3}{d^{2}(d^{2}-1)(d^{2}-4)(d^{2}-9)}}$

$\displaystyle W\!g(2^{2},d)={\frac {d^{2}+6}{d^{2}(d^{2}-1)(d^{2}-4)(d^{2}-9)}}$

$\displaystyle W\!g(21^{2},d)={\frac {-1}{d(d^{2}-1)(d^{2}-9)}}$

$\displaystyle W\!g(1^{4},d)={\frac {d^{4}-8d^{2}+6}{d^{2}(d^{2}-1)(d^{2}-4)(d^{2}-9)}}$

όπου οι μεταθέσεις σ συμβολίζονται με τα σχήματα των κύκλων τους.

Υπάρχουν προγράμματα άλγεβρας υπολογιστών για την παραγωγή αυτών των εκφράσεων.

Ρητές εκφράσεις για τα ολοκληρώματα στις πρώτες περιπτώσεις

Οι ρητές εκφράσεις για τα ολοκληρώματα πολυωνύμων πρώτου και δεύτερου βαθμού, που προκύπτουν μέσω του παραπάνω τύπου, είναι :$\int _{U_{d}}dUU_{ij}{\bar {U}}_{k\ell }=\delta _{ik}\delta _{j\ell }\operatorname {Wg} (1,d)={\frac {\delta _{ik}\delta _{j\ell }}{d}}.$

$\int _{U_{d}}dUU_{ij}U_{k\ell }{\bar {U}}_{mn}{\bar {U}}_{pq}=(\delta _{im}\delta _{jn}\delta _{kp}\delta _{\ell q}+\delta _{ip}\delta _{jq}\delta _{km}\delta _{\ell n})\operatorname {Wg} (1^{2},d)+(\delta _{im}\delta _{jq}\delta _{kp}\delta _{\ell n}+\delta _{ip}\delta _{jn}\delta _{km}\delta _{\ell q})\operatorname {Wg} (2,d).$

Ασυμπτωτική συμπεριφορά

Για μεγάλα d, η συνάρτηση Βαϊνγκάρτεν Wg έχει την ασυμπτωτική συμπεριφορά

$W\!g(\sigma ,d)=d^{-n-|\sigma |}\prod _{i}(-1)^{|C_{i}|-1}c_{|C_{i}|-1}+O(d^{-n-|\sigma |-2})$

όπου η μετάθεση σ είναι ένα γινόμενο κύκλων μήκους C_i, και c_n = (2n)!/n!(n + 1)! είναι ένας καταλανικός αριθμός, και |σ| είναι ο μικρότερος αριθμός μεταθέσεων που το σ είναι γινόμενο. Υπάρχει μια διαγραμματική μέθοδος για τον συστηματικό υπολογισμό των ολοκληρωμάτων επί της μοναδιαίας ομάδας ως δυναμοσειρά στο 1/d.

Ορθογώνιες και συμπλεκτικές ομάδες

Για ορθογώνιες και συμλεκτικές ομάδες οι συναρτήσεις Βαϊνγκάρτεν αξιολογήθηκαν από τους Κόλινς & Σνάντι (Collins & Śniady (2006)). Η θεωρία τους είναι παρόμοια με την περίπτωση της μοναδιαίας ομάδας. Παραμετροποιούνται από κατατμήσεις τέτοιες ώστε όλα τα μέρη να έχουν άρτιο μέγεθος.

Δημοσιεύσεις

• Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf. 
• Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9. 
• Belevitch V (1950). «Theory of 2n-terminal networks with applications to conference telephony». Electrical Communication 27: 231–244. 
• Bareiss, E. H. (1969), «Numerical solution of linear equations with Toeplitz and vector Toeplitz matrices», Numerische Mathematik 13 (5): 404–424, doi:10.1007/BF02163269 
• Goldreich, O.; Tal, A. (2018), «Matrix rigidity of random Toeplitz matrices», Computational Complexity 27 (2): 305–350, doi:10.1007/s00037-016-0144-9 
• Golub G. H., van Loan C. F. (1996), Matrix Computations (Johns Hopkins University Press) §4.7—Toeplitz and Related Systems
• Bell, E.T. (1986). Men of Mathematics. New York: Simon & Schuster. ISBN 0-671-46400-0. )
• Herstein, I.N. (1975). Topics in Algebra (2nd έκδοση). Wiley. ISBN 0-471-01090-1. 
• Mac Lane, Saunders· Birkhoff, Garrett (1999). Algebra (3rd έκδοση). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1646-2. 
• A Society of Gentlemen in Scotland (1771). Encyclopaedia Britannica (στα Αγγλικά). Edinburgh. 

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Πραγματικός αριθμός
• Αντιερμιτιανός πίνακας
• Μέγιστος κοινός διαιρέτης
• Ταυτοτικός πίνακας
• Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Διανυσματικός χώρος
• Παραμετρικές εξισώσεις
• Πολλαπλασιασμός πινάκων
• Ρητή συνάρτηση
• Ανάλυση πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές
• Αντιστρέψιμος πίνακας
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix calculator
• Matrix Analysis
• Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
• Exercises of Matrices and Linear Algebra
• Fourier Transforms: Approach to Scientific Principles
• Sampling Theory: Beyond Bandlimited Systems.
• Physics and Combinatorics 2000: Proceedings of the Nagoya 2000 International ...
• Random Tensors..
• A First Course in Random Matrix Theory: for Physicists, Engineers and Data .....
• Lectures on the Combinatorics of Free Probability, Τόμος 13

Παραπομπές

• Collins, Benoît (2003), «Moments and cumulants of polynomial random variables on unitary groups, the Itzykson-Zuber integral, and free probability», International Mathematics Research Notices 2003 (17): 953–982, doi:10.1155/S107379280320917X 
• Collins, Benoît; Śniady, Piotr (2006), «Integration with respect to the Haar measure on unitary, orthogonal and symplectic group», Communications in Mathematical Physics 264 (3): 773–795, doi:10.1007/s00220-006-1554-3 
• Weingarten, Don (1978), «Asymptotic behavior of group integrals in the limit of infinite rank», Journal of Mathematical Physics 19 (5): 999–1001, doi:10.1063/1.523807