Αντιερμιτιανός πίνακας

Στην γραμμική άλγεβρα, ένας πίνακας $A$ με μιγαδικές τιμές λέγεται αντιερμιτιανός (ή αντι-Ερμιτιανός) αν είναι ίσος με τον αντίθετο του Ερμιτιανό συζηγή του, δηλαδή αν $A=-A^{H}$, όπου

$(A^{H})_{ij}={\overline {A}}_{ji},$

και ${\overline {z}}$ ο συζηγής του μιγαδικού αριθμού $z\in \mathbb {C}$.

Η γενική μορφή ενός αντιερμιτιανού πίνακα διαστάσεων $n\times n$ για $n=2,3,4$, είναι η εξής:

$\underbrace {\begin{bmatrix}A_{11}&{\color {red}{-{\overline {A}}_{12}}}\\{\color {red}{A_{12}}}&A_{22}\end{bmatrix}} _{2\times 2}\qquad \underbrace {\begin{bmatrix}A_{11}&{\color {red}{-{\overline {A}}_{12}}}&{\color {blue}{-{\overline {A}}_{13}}}\\{\color {red}{A_{12}}}&A_{22}&{\color {green}{-{\overline {A}}_{23}}}\\{\color {blue}{A_{13}}}&{\color {green}{A_{23}}}&A_{33}\end{bmatrix}} _{3\times 3}\qquad \underbrace {\begin{bmatrix}A_{11}&{\color {red}{-{\overline {A}}_{12}}}&{\color {blue}{-{\overline {A}}_{13}}}&{\color {orange}{-{\overline {A}}_{14}}}\\{\color {red}{A_{12}}}&A_{22}&{\color {green}{-{\overline {A}}_{23}}}&{\color {purple}{-{\overline {A}}_{24}}}\\{\color {blue}{A_{13}}}&{\color {green}{A_{23}}}&A_{33}&{\color {magenta}{-{\overline {A}}_{34}}}\\{\color {orange}{A_{14}}}&{\color {purple}{A_{24}}}&{\color {magenta}{A_{34}}}&A_{44}\end{bmatrix}} _{4\times 4},$

όπου με ίδιο χρώμα (εκτός του μαύρου) είναι τα στοιχεία που πρέπει να σχετίζονται μεταξύ τους σε έναν αντιερμιτιανό πίνακα. Τα στοιχεία αυτά είναι συμμετρικά ως προς την κύρια διαγώνιο. Τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου πρέπει να είναι φανταστικοί αριθμοί.

Η ονομασία είναι προς τιμήν του μαθηματικού Σαρλ Ερμίτ.

Παραδείγματα

• Μερικά παραδείγματα είναι τα εξής:

${\begin{bmatrix}2&\color {red}{3-i}\\\color {red}{-3+i}&4\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}4&\color {red}{0.7-0.2i}&\color {blue}{-6+2i}\\\color {red}{-0.7+0.2i}&-6.1&\color {green}{-2.4-4i}\\\color {blue}{6-2i}&\color {green}{2.4+4i}&7.3\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}9&\color {red}{6+i}&\color {blue}{0}&\color {orange}{2.3+7i}\\\color {red}{-6-i}&3&\color {green}{0.7-0.2i}&\color {purple}{2.2-0.5i}\\\color {blue}{0}&\color {green}{0.7+0.2i}&0&\color {magenta}{3-2i}\\\color {orange}{-2.3-7i}&\color {purple}{-2.2+0.5i}&\color {magenta}{-3+2i}&-2\end{bmatrix}}.$

• Κάθε πραγματικός αντισυμμετρικός πίνακας είναι αντιερμιτιανός. Για παράδειγμα,

${\begin{bmatrix}5&\color {red}{7}\\\color {red}{7}&-3\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&\color {red}{4.8}&\color {blue}{-6}\\\color {red}{4.8}&-5.1&\color {green}{-3.4}\\\color {blue}{-6}&\color {green}{-3.4}&2.2\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}-10&\color {red}{2.1}&\color {blue}{0}&\color {orange}{4.7}\\\color {red}{2.1}&0&\color {green}{-0.7}&\color {purple}{2.2}\\\color {blue}{0}&\color {green}{-0.7}&2&\color {magenta}{3.5}\\\color {orange}{4.7}&\color {purple}{2.2}&\color {magenta}{3.5}&-5\end{bmatrix}}.$

Επομένως, και ο μηδενικός πίνακας είναι αντιερμιτιανός.

Ιδιότητες

• Τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου ενός αντιερμιτιανού πίνακας είναι φανταστικοί αριθμοί. Επομένως, και το ίχνος ενός πίνακα είναι φανταστικός αριθμός.

Απόδειξη  

Θέτοντας $i=j$ έχουμε ότι

$A_{ii}=(A^{H})_{ii}={\overline {A}}_{ii}$,

και επομένως $A_{ii}$ είναι πραγματικός αριθμός.

• Η ορίζουσα ενός Ερμιτιανού πίνακα είναι φανταστικός αριθμός.

Απόδειξη  

Από τον ορισμό της ορίζουσας, έχουμε ότι

${\begin{aligned}\mathrm {det} (A)=\mathrm {det} (-A^{H})&=-\prod _{\sigma \in S_{n}}\epsilon _{\sigma (1)\ldots \sigma (n)}{\overline {A}}_{1\sigma (1)}\cdot \ldots \cdot {\overline {A}}_{n\sigma (n)}\\&=-\prod _{\sigma \in S_{n}}\epsilon _{\sigma (1)\ldots \sigma (n)}{\overline {A_{1\sigma (1)}\cdot \ldots \cdot A_{n\sigma (n)}}}\\&=-{\overline {\prod _{\sigma \in S_{n}}\epsilon _{\sigma (1)\ldots \sigma (n)}A_{1\sigma (1)}\cdot \ldots \cdot A_{n\sigma (n)}}}\\&=-{\overline {\mathrm {det} (A)}},\end{aligned}}$

επομένως $\mathrm {det} (A)$ είναι φανταστικός αριθμός.

• Το άθροισμα δύο αντιερμιτιανών πινάκων είναι αντιερμιτιανός.

Απόδειξη  

Από τις ιδιότητες του Ερμιτιανού συζυγή, έχουμε ότι

$(A+B)^{H}=A^{H}+B^{H}=-A+(-B)=-(A+B)$.

• Ο αντίστροφος ενός αντιερμιτιανού πίνακα είναι αντιερμιτιανός.

Απόδειξη  

Από τις ιδιότητες του Ερμιτιανού συζυγή και του αντιστρόφου, έχουμε ότι

$(A^{-1})^{H}=(A^{H})^{-1}=-A^{-1}$.

• Για κάθε διάνυσμα $\mathbf {v} \in \mathbb {C}$ ισχύει ότι $\mathbf {v} ^{H}A\mathbf {v}$ είναι φανταστικός αριθμός.

Απόδειξη  

$(\mathbf {v} ^{H}A\mathbf {v} )^{H}=\mathbf {v} ^{H}A^{H}\mathbf {v} =-\mathbf {v} ^{H}A\mathbf {v}$.

Δείτε επίσης

• Συζυγής ανάστροφος πίνακας
• Αντισυμμετρικός πίνακας
• Ερμιτιανός πίνακας