Θεώρημα του γνώμονα

Το θεώρημα του γνώμονα λέει ότι το πράσινο και το κόκκινο παραλληλόγραμμο έχουν ίσα εμβαδά.

Στην γεωμετρία, το θεώρημα του γνώμονα λέει ότι ορισμένα παραλληλόγραμμα που εμφανίζονται σε ένα γνώμονα έχουν ίσα εμβαδά.

Πιο συγκεκριμένα, έστω ένα παραλληλόγραμμο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ και ${\rm {P}}$ ένα σημείο της διαγωνίου ${\rm {A\Gamma }}$. H παράλληλη από το ${\rm {P}}$ προς την πλευρά ${\rm {AB}}$ τέμνει την ${\rm {B\Gamma }}$ στο ${\rm {E}}$ και την ${\rm {A\Delta }}$ στο $\Theta$. Ομοίως, η παράλληλη από το ${\rm {P}}$ προς το ${\rm {A\Delta }}$ τέμνει την ${\rm {\Gamma \Delta }}$ στο ${\rm {Z}}$ και την ${\rm {AB}}$ στο ${\rm {H}}$. Τότε, τα παραλληλόγραμμα ${\rm {HBEP}}$ και ${\rm {PZ\Delta \Theta }}$ έχουν ίσα εμβαδά.

Γνώμων είναι η ονομασία για το σχήμα L που αποτελείται από τα δύο επικαλυπτόμενα παραλληλόγραμμα ${\rm {ABE\Theta }}$ και ${\rm {AHZ\Delta }}$. Τα παραλληλόγραμμα ίσου εμβαδού ${\rm {HBEP}}$ και ${\rm {PZ\Delta \Theta }}$ ονομάζονται παραπληρώματα (των παραλληλογράμμων στη διαγώνιο ${\rm {PE\Gamma Z}}$ και ${\rm {AHP\Theta }}$).

Απόδειξη

Αρχικά, θα αποδείξουμε ότι η διαγώνιος ενός παραλληλογράμμου χωρίζει το παραλληλόγραμμο σε δύο ίσα τρίγωνα, επομένως και σε δύο τρίγωνα με ίσο εμβαδόν. Αυτό προκύπτει από το κριτήριο πλευράς-πλευράς-πλευράς καθώς τα τρίγωνα ${\rm {A\Gamma B}}$ και ${\rm {A\Gamma \Delta }}$ έχουν τις τρεις πλευρές τους ίσες:

• ${\rm {A\Gamma }}$ κοινή,
• ${\rm {AB={\rm {\Gamma \Delta }}}}$, και
• ${\rm {B\Gamma =\Delta A}}$ ως απέναντι πλευρές σε ένα παραλληλόγραμμο.

Επομένως,

• ${\rm {E}}_{\rm {A\Delta \Gamma }}={\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma }}$ από το παραλληλόγραμμο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$,
• ${\rm {E}}_{\rm {A\Theta P}}={\rm {E}}_{\rm {AHP}}$ από το παραλληλόγραμμο ${\rm {AHP\Theta }}$,
• ${\rm {E}}_{\rm {PZ\Gamma }}={\rm {E}}_{\rm {PE\Gamma }}$ από το παραλληλόγραμμο ${\rm {PE\Gamma Z}}$.

Συνδυάζοντας αυτές τις τρεις σχέσεις έχουμε ότι

${\begin{aligned}{\rm {E}}_{\rm {HBEP}}&={\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma }}-{\rm {E}}_{\rm {AHP}}-{\rm {E}}_{\rm {PE\Gamma }}\\&={\rm {E}}_{\rm {A\Delta \Gamma }}-{\rm {E}}_{\rm {A\Theta P}}-{\rm {E}}_{\rm {PZ\Gamma }}\\&={\rm {E}}_{\rm {PZ\Delta \Theta }}.\end{aligned}}$,

που είναι και το ζητούμενο.

$\square$

Εφαρμογές και επεκτάσεις

Το θεώρημα του γνώμονα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή ενός νέου παραλληλογράμμου ή ορθογωνίου ίσου εμβαδού με ένα δεδομένο παραλληλόγραμμο ή ορθογώνιο χρησιμοποιώντας κανόνα και διαβήτη. Αυτό επιτρέπει επίσης την γεωμετρική αναπαράσταση μιας διαίρεσης δύο αριθμών, ένα σημαντικό χαρακτηριστικό για την αναδιατύπωση γεωμετρικών προβλημάτων με αλγεβρικούς όρους. Πιο συγκεκριμένα, αν δύο αριθμοί δίνονται ως μήκη ευθύγραμμων τμημάτων μπορεί κανείς να κατασκευάσει ένα τρίτο ευθύγραμμο τμήμα, το μήκος του οποίου αντιστοιχεί στο πηλίκο αυτών των δύο αριθμών (βλέπε διάγραμμα). Μια άλλη εφαρμογή είναι η μεταφορά του λόγου του τμήματος ενός ευθύγραμμου τμήματος σε ένα άλλο ευθύγραμμο τμήμα (διαφορετικού μήκους), διαιρώντας έτσι αυτό το άλλο ευθύγραμμο τμήμα με τον ίδιο λόγο όπως ένα δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα και το τμήμα του (βλ. διάγραμμα).

Γεωμετρική αναπαράσταση μιας διαίρεσης

Μεταφορά του λόγου ενός τμήματος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ στο ευθύγραμμο τμήμα HG: ${\tfrac {|AH|}{|HB|}}={\tfrac {|HP|}{|PG|}}$.

Το $\mathbb {A}$ είναι το (κάτω) παραλληλεπίπεδο γύρω από τη διαγώνιο με $P$ και τα συμπληρώματά του $\mathbb {B}$, $\mathbb {C}$ και $\mathbb {D}$ έχουν τον ίδιο όγκο: $|\mathbb {B} |=|\mathbb {C} |=|\mathbb {D} |$

Το θεώρημα γενικεύεται και σε τρεις διαστάσεις για τα παραλληλεπίπεδα. Σε αυτή την περίπτωση έχουμε ένα σημείο ${\rm {P}}$ στη διαγώνιο του χώρου ενός παραλληλεπιπέδου και αντί για δύο παράλληλες ευθείες έχουμε τρία επίπεδα που διέρχονται από το $P$, το καθένα παράλληλο με τις επιφάνειες του παραλληλεπιπέδου. Τα τρία επίπεδα χωρίζουν το παραλληλεπίπεδο σε οκτώ μικρότερα παραλληλεπίπεδα- δύο από αυτά περιβάλλουν τη διαγώνιο και συναντώνται στο $P$. Τώρα κάθε ένα από αυτά τα δύο παραλληλεπίπεδα γύρω από τη διαγώνιο έχει τρία από τα υπόλοιπα έξι παραλληλεπίπεδα προσαρτημένα σε αυτό, και αυτά τα τρία παίζουν το ρόλο των συμπληρωμάτων και είναι ίσου όγκου (βλ. διάγραμμα).

Γενικό θεώρημα για ένθετα παραλληλόγραμμα

Γενίκευση του θεωρήματος του γνώμονα.

Το θεώρημα του γνώμονα είναι ειδική περίπτωση ενός γενικότερου θεωρήματος για ένθετα παραλληλόγραμμα με κοινή διαγώνιο. Σε ένα παραλληλόγραμμο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ θεωρούμε ένα αυθαίρετο εσωτερικό παραλληλόγραμμο ${\rm {AP_{1}\Gamma P_{2}}}$ που έχει επίσης ως διαγώνιο το ${\rm {A\Gamma }}$. Επιπλέον υπάρχουν δύο μοναδικά καθορισμένα παραλληλόγραμμα ${\rm {HBEP_{1}}}$ και ${\rm {\Delta \Theta P_{1}Z}}$ των οποίων οι πλευρές είναι παράλληλες με τις πλευρές του εξωτερικού παραλληλογράμμου και τα οποία μοιράζονται την κορυφή ${\rm {P_{1}}}$ με το εσωτερικό παραλληλόγραμμο. Τώρα η διαφορά των εμβαδών αυτών των δύο παραλληλογράμμων είναι ίση με το εμβαδόν του εσωτερικού παραλληλογράμμου, δηλαδή

${\rm {E}}_{\rm {AP_{1}\Gamma P_{2}}}={\rm {E}}_{\rm {\Delta \Theta P_{1}Z}}-{\rm {E}}_{\rm {HBEP_{1}}}$.

Όταν το ${\rm {P_{1}}}$ ταυτίζεται με το ${\rm {P_{2}}}$, τότε το εφυλισμένο παραλληλόγραμμο ${\rm {AP_{1}\Gamma P_{2}}}$ έχει εμβαδόν μηδέν και επομένως η παραπάνω σχέση δίνει ότι ${\rm {E}}_{\rm {\Delta \Theta P_{1}Z}}={\rm {E}}_{\rm {HBEP_{1}}}$ (δηλαδή το θεώρημα του γνώμονα).

Ιστορικές πτυχές

Το θεώρημα του γνώμονα εμφανίζεται στα Στοιχεία του Ευκλείδη (γύρω στο 300 π.Χ.) ως πρόταση 43 στο Βιβλίο 1. Στην πρόταση αυτή δεν χρησιμοποιείται ο όρος «γνώμονας», αλλά αναφέρεται στα παραλληλόγραμμα ${\rm {HBEP}}$ και ${\rm {PZ\Delta \Theta }}$ ως παραπληρώματα.

Παντὸς παραλληλογράμμου τῶν περὶ τὴν διάμετρον παραλληλογράμμων τὰ παραπληρώματα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.

— Ευκλείδης, Πρόταση 43 στο Βιβλίο 1, Στοιχεία

Ο ορισμός για τον γνώμονα δίνεται ως ορισμός 2 στο Βιβλίο 2:

Παντὸς δὲ παραλληλογράμμου χωρίου τῶν περὶ τὴν διάμετρον αὐτοῦ παραλληλογράμμων ἓν ὁποιονοῦν σὺν τοῖς δυσὶ παραπληρώμασι γνώμων καλείσθω.

— Ευκλείδης, Ορισμός 2 στο Βιβλίο 2, Στοιχεία

Περαιτέρω θεωρήματα για τα οποία ο γνώμονας και οι ιδιότητές του παίζουν σημαντικό ρόλο είναι η Πρόταση 6 στο Βιβλίο 2, η Πρόταση 27-30 στο Βιβλίο 6 και οι προτάσεις 1-4 στο Βιβλίο 13.

Δείτε επίσης

• Στοιχεία του Ευκλείδη
• Παραλληλόγραμμο

Περαιτέρω ανάγνωση

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Evans, George W. (1927). «Some of Euclid's Algebra». The Mathematics Teacher 20 (3): 127–141. https://www.jstor.org/stable/27950916. 
• Hazard, William J. (1929). «Generalizations of the Theorem of Pythagoras and Euclid's Theorem of the Gnomon». The American Mathematical Monthly 36 (1): 32–34. https://www.jstor.org/stable/2300175.