Θεώρημα Ντροζ-Φάρνι

Θεώρημα Ντροζ-Φάρνι

• ${\rm {H}}$: το ορθόκεντρο του τριγώνου
• $\varepsilon _{1},\varepsilon _{2}$: οι δύο κάθετες στο ${\rm {H}}$ (με πράσινο και μπλε).
• ${\rm {A_{1},B_{1},\Gamma _{1}}}$: τα σημεία τομής της $\varepsilon _{1}$ με τις πλευρές
• ${\rm {A_{2},B_{2},\Gamma _{2}}}$: τα σημεία τομής της $\varepsilon _{2}$ με τις πλευρές
• ${\rm {A_{0},B_{0},\Gamma _{0}}}$: τα μέσα των ${\rm {A_{1}A_{2},B_{1}B_{2},\Gamma _{1}\Gamma _{2}}}$.

Τότε, τα ${\rm {A_{0},B_{0},\Gamma _{0}}}$ είναι συνευθειακά (κόκκινη ευθεία).

Στην γεωμετρία, το θεώρημα Ντροζ-Φάρνι (ή θεώρημα ευθείας του Ντροζ-Φάρνι) αναφέρεται σε μια ιδιότητα δύο κάθετων ευθειών που διέρχονται από το ορθοκέντρο σε ένα τυχόν τρίγωνο.

Πιο συγκεκριμένα, έστω ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$, και ${\rm {H}}$ το ορθοκέντρο του (το σημείο που διέρχονται τα τρία ύψη του). Έστω $\varepsilon _{1}$ και $\varepsilon _{2}$ δύο κάθετες ευθείες που διέρχονται από το ${\rm {H}}$. Επιπλέον θεωρούμε τα σημεία ${\rm {A}}_{1}$, ${\rm {B}}_{1}$ και $\Gamma _{1}$ όπου η $\varepsilon _{1}$ τέμνει τους φορείς των πλευρών του ${\rm {B\Gamma }}$, ${\rm {\Gamma A}}$ και ${\rm {AB}}$. Αντίστοιχα, έστω ${\rm {A_{2}}}$, ${\rm {B_{2}}}$, και ${\rm {\Gamma _{2}}}$ τα σημεία όπου η $\varepsilon _{2}$ τέμνει τους φορείς των πλευρών. Τότε, τα μέσα των ${\rm {A_{1}A_{2}}}$, ${\rm {B_{1}B_{2}}}$, και ${\rm {\Gamma _{1}\Gamma _{2}}}$ είναι συνευθειακά.

Το θεώρημα διατυπώθηκε από τον Άρνολντ Ντροζ-Φάρνι το 1899, αλλά δεν είναι ξεκάθαρο αν έδωσε κάποια απόδειξη. Νωρίτερα το θεώρημα είχε αποδειχθεί από τον Albert Noyer το 1893 και τον το .

Γενικεύσεις

Διάφορες γενικεύσεις του θεωρήματος έχουν μελετηθεί:

• (Γκορμάχτιγκ, 1930) Έστω ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$, ένα σημείο ${\rm {P}}$ διαφορετικό από τις κορυφές του και $\varepsilon$ οποιαδήποτε ευθεία που διέρχεται από το ${\rm {P}}$. Έστω ${\rm {A_{1}}}$, ${\rm {B_{1}}}$ και ${\rm {\Gamma _{1}}}$ τα σημεία των φορέων των ${\rm {B\Gamma }}$, ${\rm {\Gamma A}}$ και ${\rm {AB}}$ αντίστοιχα, τότε οι ευθείες ${\rm {PA_{1}}}$, ${\rm {PB_{1}}}$, και ${\rm {P\Gamma _{1}}}$ είναι οι συμμετρικές ευθείες των ${\rm {PA}}$, ${\rm {PB}}$, και ${\rm {P\Gamma }}$, αντίστοιχα, ως προς την ευθεία $\varepsilon$. Τότε, τα σημεία ${\rm {A_{1}}}$, ${\rm {B_{1}}}$, και ${\rm {\Gamma _{1}}}$ είναι συνευθειακά.

Σημείωση: Όταν το $P$ είναι το ορθοκέντρο του τριγώνου λαμβάνουμε ως ειδική περίπτωση το θεώρημα Ντροζ-Φάρνι.

Η πρώτη γενίκευση του Ντάο.

• (Ντάο, 2014) Έστω ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$, ένα σημείο ${\rm {P}}$, και τρία παράλληλα ευθύγραμμα τμήματα ${\rm {AA'}}$, ${\rm {BB'}}$, ${\rm {\Gamma \Gamma '}}$ τέτοια ώστε τα μέσα τους και το ${\rm {P}}$ να είναι συνευθειακά. Τότε τα σημεία τομής των ${\rm {PA'}}$, ${\rm {PB'}}$, ${\rm {P\Gamma '}}$ με τους φορείς των πλευρών ${\rm {B\Gamma }}$, ${\rm {\Gamma A}}$ και ${\rm {AB}}$ αντίστοιχα, είναι συνευθειακά.

Η δεύτερη γενίκευση του Ντάο.

• (Ντάο, 2014) Έστω μια κωνική τομή $S$ και ένα σημείο P στο επίπεδο. Κατασκευάστε τρεις ευθείες d_a, d_b, d_c μέσω του P έτσι ώστε να συναντούν την κωνική στα σημεία ${\rm {A}}$, ${\rm {A'}}$, $B$, ${\rm {B'}}$, ${\rm {\Gamma }}$, ${\rm {\Gamma '}}$ αντίστοιχα. Έστω ${\rm {\Delta }}$ ένα σημείο στην πολική του σημείου ${\rm {P}}$ ως προς το $S$ ή το $\Delta$ να βρίσκεται στην κωνική τομή $S$. Έστω

${\rm {A_{0}=\Delta A'\cap B\Gamma }}$,

${\rm {B_{0}=\Delta B'\cap A\Gamma }}$,

${\rm {\Gamma _{0}=\Delta \Gamma '\cap AB}}$.

Τότε τα ${\rm {A_{0}}}$, ${\rm {B_{0}}}$, ${\rm {\Gamma _{0}}}$ είναι συνευθειακά.

Δείτε επίσης

• Ορθόκεντρο τριγώνου
• Κάθετες ευθείες
• Συνευθειακά σημεία

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Ευθεία Θεώρημα Ντροζ-Φάρνι στο cut-the-knot.
• Δισδραστική εφαρμογή για την ευθεία στο MacTutor.