Συνευθειακά σημεία (γεωμετρία)

Τα σημεία ${\rm {A,B,\Gamma }}$ είναι συνευθειακά, ενώ π.χ. τα ${\rm {A,B,\Delta }}$ δεν είναι συνευθειακά.

Στην γεωμετρία, τρία ή παραπάνω σημεία λέγονται συνευθειακά (ή συγγραμμικά) αν υπάρχει ευθεία στην οποία ανήκουν όλα αυτά τα σημεία.

Αν δύο από αυτά τα σημεία είναι διαφορετικά μεταξύ τους, τότε η ευθεία αυτή που διέρχεται από όλα τα σημεία είναι μοναδική.

Συνθήκη συγγραμμικότητας

Θεωρούμε στο επίπεδο την ευθεία ${\rm {\varepsilon }}$ και δύο διαφορετικά σημεία της ${\rm {A,B}}$ καθώς και ένα τρίτο σημείο ${\rm {O}}$ το οποίο δεν ανήκει στην ευθεία ${\rm {\varepsilon }}$. Αν θέσουμε ${\vec {\rm {\alpha }}}={\vec {\rm {OA}}},{\vec {\rm {\beta }}}={\vec {\rm {OB}}}$ τότε για κάθε σημείο ${\rm {\Gamma }}$ του επιπέδου με ${\vec {\gamma }}={\vec {\rm {O\Gamma }}}$ υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί $\rho ,\sigma \in \mathbb {R}$ τέτοιοι ώστε

${\vec {\gamma }}=\rho \cdot {\vec {\rm {\alpha }}}+\sigma \cdot {\vec {\rm {\beta }}}$.

(1)

Τα σημεία ${\rm {A,B,\Gamma }}$ είναι συνευθειακά αν και μόνο αν ισχύει η σχέση

${\rm {{\rho +\sigma }=1}}$.

(2)

Απόδειξη  

($\Rightarrow$) Έστω ότι τα σημεία ${\rm {A,B,\Gamma }}$ είναι συνευθειακά. Αν θεωρήσουμε το σημείο ${\rm {O}}$ ως διανυσματική αρχή τότε, η εξίσωση της ευθείας ${\rm {\varepsilon }}$ είναι

${\rm {{{\vec {x}}={\vec {\rm {\alpha }}}+\lambda }\cdot ({\vec {\rm {\beta }}}-{\vec {\rm {\alpha }}})}}$, όπου ${\rm {\lambda \in \mathbb {R} }}$.

(3)

Υπάρχει μία τιμή του ${\rm {\lambda }}$ έστω ${\rm {\lambda _{1}}}$τέτοια ώστε

${\rm {{{\vec {\gamma }}={\vec {\rm {\alpha }}}+\lambda _{1}}\cdot ({\vec {\rm {\beta }}}-{\vec {\rm {\alpha }}})}}$

η οποία μπορεί να γραφεί

${\rm {{{\vec {\gamma }}=(1-\lambda _{1})\cdot {\vec {\rm {\alpha }}}+\lambda _{1}}\cdot {\vec {\rm {\beta }}}}}$

Αν θέσουμε ${\rm {1-\lambda _{1}=\rho ,\lambda _{1}=\sigma }}$ με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει η σχέση (2).

($\Leftarrow$) Έστω ότι ισχύει η σχέση (2).

Τότε η σχέση (1) γράφεται

${\vec {\rm {\gamma }}}=(1-\sigma )\cdot {\vec {\rm {\alpha }}}+\sigma \cdot {\vec {\rm {\beta }}}={\vec {\rm {\alpha }}}+\sigma \cdot ({\vec {\rm {\beta }}}-{\vec {\rm {\alpha }}})$

η τελευταία δηλώνει ότι το διάνυσμα του ${\rm {\Gamma }}$ ικανοποιεί την εξίσωση της ευθείας ${\rm {\varepsilon }}$ (σχέση 3), ρα τα σημεία ${\rm {A,B,\Gamma }}$ είναι συνευθειακά.

$\square$

Έλεγχος συγγραμικότητας

Με την ορίζουσα

Τρία σημεία ${\rm {A}}=(x_{\rm {A}},y_{\rm {A}})$, ${\rm {B}}=(x_{\rm {B}},y_{\rm {B}})$ και ${\rm {\Gamma }}=(x_{\rm {\Gamma }},y_{\rm {\Gamma }})$ είναι συγγραμικά αν και μόνο αν

$D={\begin{vmatrix}x_{\rm {A}}&y_{\rm {A}}&1\\x_{\rm {B}}&y_{\rm {B}}&1\\x_{\rm {\Gamma }}&y_{\rm {\Gamma }}&1\end{vmatrix}}=0.$

Ο λόγος είναι ότι σύμφωνα με τον τύπο της ορίζουσας το εμβαδόν του τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$ είναι ίσο με ${\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma }}={\tfrac {1}{2}}D$. Επομένως, τα τρία σημεία θα είναι συγγραμμικά αν και μόνο αν το εμβαδόν του τριγώνου είναι $0$.

Με το εξωτερικό γινόμενο

Παρόμοια, αν τα διανύσματα των κορυφών είναι ${\vec {\rm {A}}},{\vec {\rm {B}}},{\vec {\rm {\Gamma }}}$, από τον τύπο με το διανυσματικό γινόμενο, το εμβαδόν του τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$ είναι ίσο με

${\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma }}={\frac {1}{2}}\left|\left({\vec {\rm {B}}}-{\vec {\rm {A}}}\right)\times \left({\vec {\rm {\Gamma }}}-{\vec {\rm {A}}}\right)\right|$,

αρα τα σημεία είναι συγγραμμικά αν και μόνο αν είναι ίσο με το $0$.

Παραδείγματα

Τρίγωνα

• (Ευθεία Όιλερ) Σε ένα τρίγωνο το ορθόκεντρο, το βαρύκεντρο και το περίκεντρο είναι σημεία συνευθειακά. Στην ευθεία αυτή ανήκουν επίσης το σημείο Schiffler, το σημείο Exeter και το σημείο de Longchamp.
• (Θεώρημα Μενελάου) Σε ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ τα σημεία ${\rm {\Delta ,E,Z}}$ των πλευρών του ${\rm {AB,B\Gamma ,A\Gamma ,B\Gamma }}$ είναι σημεία συνευθειακά αν και μόνο αν

${\frac {\overline {\rm {A\Delta }}}{\overline {\rm {\Delta B}}}}\cdot {\frac {\overline {\rm {BZ}}}{\overline {\rm {Z\Gamma }}}}\cdot {\frac {\overline {\rm {\Gamma E}}}{\overline {\rm {EA}}}}=-1.$

• (Ευθεία Σίμσον-Γουάλας) Σε ένα τρίγωνο για οποιοδήποτε σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου του, ισχύει ότι οι προβολές στις τρεις πλευρές του είναι συνευθειακά σημεία.

Τετράπλευρα

• (Ευθεία Νεύτωνα) Σε ένα τετράπλευρο τα μέσα των διαγωνίων του και η τομή των τμημάτων που συνδέουν τα μέσα των απέναντι πλευρών, είναι συνευθειακά σημεία.

Δείτε επίσης

• Σημείο
• Ευθεία