Εσωτερική διχοτόμος τριγώνου

Εσωτερική διχοτόμος $\mathrm {A\Delta }$ της κορυφής $\mathrm {A}$ στο τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$.

Στη γεωμετρία, διχοτόμος γωνίας ενός τριγώνου ή εσωτερική διχοτόμος λέγεται το τμήμα της διχοτόμου της γωνίας, που περιέχεται μεταξύ της κορυφής της γωνίας και της πλευράς του τριγώνου.

Πιο συγκεκριμένα, σε ένα τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ η εσωτερική διχοτόμος της γωνίας ${\widehat {\mathrm {BA\Gamma } }}$ είναι το ευθύγραμμο τμήμα $\mathrm {A\Delta }$ που διχοτομεί την ${\widehat {\mathrm {BA\Gamma } }}$ και $\mathrm {\Delta }$ είναι σημείο της $\mathrm {B\Gamma }$. Αντίστοιχα ορίζονται οι διχοτόμοι των γωνιών ${\hat {\mathrm {B} }}$ και ${\hat {\mathrm {\Gamma } }}$ του τριγώνου. Οι διχοτόμοι συνήθως συμβολίζονται με $\delta _{\rm {A}},\delta _{\rm {B}},\delta _{\rm {\Gamma }}$ ή $\delta _{\alpha },\delta _{\beta },\delta _{\gamma }$ ή $\delta _{1},\delta _{2},\delta _{3}$ αντίστοιχα.

Θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου

Το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου λέει ότι σε ένα τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ η διχοτόμος $\mathrm {A\Delta }$ ενός τριγώνου χωρίζει την απέναντι πλευρά $\mathrm {B\Gamma }$ σε δύο τμήματα με λόγο ανάλογο των δύο άλλων πλευρών, δηλαδή,

${\frac {\mathrm {B\Delta } }{\mathrm {\Gamma \Delta } }}={\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}.$

Έγκεντρο τριγώνου

Οι εσωτερικές διχοτόμοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό ονομάζεται έγκεντρο του τριγώνου και είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου.

Το έγκεντρο και ο εγγεγραμμένος κύκλος σε ένα οξυγώνιο, ένα ορθογώνιο και ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο.

Μήκος εσωτερικής διχοτόμου

• Τα μήκη ${\rm {\delta _{A}}}$, ${\rm {\delta _{B}}}$, ${\rm {\delta _{\Gamma }}}$, των εσωτερικών διχοτόμων ενός τριγώνου, συναρτήσει των πλευρών του, δίνονται από τους τύπους:

$\delta _{\rm {A}}={\sqrt {\beta \gamma \cdot \left(1-{\frac {\alpha ^{2}}{(\beta +\gamma )^{2}}}\right)}}$, $\quad \delta _{\rm {B}}={\sqrt {\gamma \alpha \cdot \left(1-{\frac {\beta ^{2}}{(\gamma +\alpha )^{2}}}\right)\quad }}$ και $\quad \delta _{\rm {\Gamma }}={\sqrt {\alpha \beta \cdot \left(1-{\frac {\gamma ^{2}}{(\alpha +\beta )^{2}}}\right)}}$.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης για το μήκος της διχοτόμου ενός τριγώνου.

Θεωρούμε το τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ με πλευρές ${\rm {{B\Gamma }=\alpha }}$, ${\rm {{A\Gamma }=\beta }}$, ${\rm {{AB}=\gamma }}$ και ${\rm {A\Delta =\delta _{\rm {A}}}}$ η διχοτόμος της γωνίας ${\rm {\hat {A}}}$ του τριγώνου.

Προεκτείνουμε την ${\rm {A\Delta }}$ η οποία τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου στο σημείο έστω ${\rm {E}}$ και στη συνέχεια ενώνουμε το ${\rm {E}}$ με το ${\rm {\Gamma }}$.

Τα τρίγωνα ${\rm {AB\Delta }}$ και ${\rm {AE\Gamma }}$ έχουν,

• ${\rm {{\widehat {BAE}}={\widehat {EA\Gamma }}}}$, διότι η ${\rm {A\Delta }}$ είναι διχοτόμος της γωνίας ${\rm {\hat {A}}}$.
• ${\rm {{\widehat {AB\Gamma }}={\widehat {AE\Gamma }}}}$, διότι είναι εγγεγραμμένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο ${\rm {\overset {\frown }{\rm {A\Gamma }}}}$.

Συνεπώς τα τρίγωνα είναι όμοια και ισχύει,

${\rm {{\frac {AB}{AE}}={\frac {A\Delta }{A\Gamma }}}}$ και με χιαστή γινόμενα,

${\rm {A\Delta \cdot AE=A\Gamma \cdot AB}}$ δηλαδή

${\rm {A\Delta \cdot AE=\beta \cdot \gamma }}$

(1)

Αλλά είναι ${\rm {AZ=A\Delta +\Delta E}}$ και έτσι η σχέση (1) γράφεται,

${\rm {A\Delta \cdot (A\Delta +\Delta E)=\beta \cdot \gamma }}$

και μετά από πράξεις,

${\rm {(A\Delta )^{2}=\beta \gamma -A\Delta \cdot \Delta E}}$

(2)

Σύμφωνα με το θεώρημα τεμνομένων χορδών ισχύει ${\rm {A\Delta \cdot \Delta E=\Delta B\cdot \Delta \Gamma }}$

Επομένως η σχέση (2) γράφεται ${\rm {(A\Delta )^{2}=\beta \cdot \gamma -\Delta B\cdot \Delta \Gamma }}$

(3)

Από το θεώρημα της διχοτόμου γνωρίζουμε ότι είναι,

$\mathrm {B\Delta } ={\frac {\alpha \gamma }{\beta +\gamma }}$ και $\mathrm {\Gamma \Delta } ={\frac {\alpha \beta }{\beta +\gamma }}$.

Τότε η σχέση (3) γράφεται,

${\rm {{\rm {(A\Delta )^{2}}}=\beta \gamma -{\rm {\frac {\alpha ^{2}\cdot \beta \cdot \gamma }{(\beta +\gamma )^{2}}}}}}$,

δηλαδή

$\delta _{\rm {A}}={\sqrt {\beta \gamma \cdot \left(1-{\frac {\alpha ^{2}}{(\beta +\gamma )^{2}}}\right)}}$.

Με ανάλογο τρόπο υπολογίζουμε τα μήκη και των άλων δύο διχοτόμων.

$\square$

Σημείωση. Οι παραπάνω τύποι αποδεικνύονται και με τη χρήση του θεωρήματος Στιούαρτ .

• Οι παραπάνω τύποι μπορούν να γραφτούν συναρτήσει της ημιπεριμέτρου ως

${\rm {{\rm {\delta _{A}}}={\rm {{\frac {2}{\beta +\gamma }}\cdot {\sqrt {\beta \gamma \cdot \tau \cdot (\tau -\alpha )}}}}}}$, ${\rm {{\rm {\delta _{B}}}={\rm {{\frac {2}{\gamma +\alpha }}\cdot {\sqrt {\gamma \alpha \cdot \tau \cdot (\tau -\beta )}}}}}}$, ${\rm {{\rm {\delta _{\Gamma }}}={\rm {{\frac {2}{\alpha +\beta }}\cdot {\sqrt {\alpha \beta \cdot \tau \cdot (\tau -\gamma )}}}}}}$.

Απόδειξη  

Ξεκινώντας από τον παραπάνω τύπο και χρησιμοποιώντας την ταυτότητα για την διαφορά τετραγώνων $x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)$,

${\begin{aligned}(\delta _{\rm {A}})^{2}&=\beta \gamma \cdot \left(1-{\frac {\alpha ^{2}}{(\beta +\gamma )^{2}}}\right)\\&={\rm {\beta \gamma \cdot {\frac {(\beta +\gamma )^{2}-\alpha ^{2}}{(\beta +\gamma )^{2}}}}}\\&={\rm {{\frac {\beta \gamma \cdot (\beta +\gamma +\alpha )\cdot (\beta +\gamma -\alpha )}{(\beta +\gamma )^{2}}}.}}\end{aligned}}$.

Και αν θέσουμε $\alpha +\beta +\gamma =2\tau$ τότε θα είναι $\beta +\gamma -\alpha =2(\tau -\alpha )$ η σχέση γράφεται,

${\rm {(\delta _{\rm {A}})^{2}={\rm {\frac {4\beta \gamma \cdot \tau \cdot (\tau -\alpha )}{(\beta +\gamma )^{2}}}}}}$

Άρα είναι

${\rm {{\rm {\delta _{A}}}={\rm {{\frac {2}{\beta +\gamma }}\cdot {\sqrt {\beta \gamma \cdot \tau \cdot (\tau -\alpha )}}}}}}$

Με ανάλογο τρόπο υπολογίζουμε τα μήκη και των άλων δύο διχοτόμων.

$\square$

Άλλες τριγωνομετρικές μορφές για το μήκος των διχοτόμων είναι οι εξής:

$\delta _{\rm {A}}={\frac {2\beta \gamma }{\beta +\gamma }}\cdot \cos {\frac {\rm {A}}{2}},$ $\quad \delta _{\rm {B}}={\frac {2\gamma \alpha }{\gamma +\alpha }}\cdot \cos {\frac {\rm {B}}{2}}\quad$ και $\quad \delta _{\rm {\Gamma }}={\frac {2\alpha \beta }{\alpha +\beta }}\cdot \cos {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}$,

και επίσης

$\delta _{\rm {A}}={\frac {\alpha \cdot \sin {\rm {B}}\cdot \sin {\rm {\Gamma }}}{\sin {\rm {A}}\cdot \cos {\frac {{\rm {B}}-{\Gamma }}{2}}}}$, $\quad \delta _{\rm {B}}={\frac {\beta \cdot \sin {\rm {\Gamma }}\cdot \sin {\rm {A}}}{\sin {\rm {B}}\cdot \cos {\frac {{\rm {\Gamma }}-{\rm {A}}}{2}}}}\quad$ και $\quad \delta _{\rm {\Gamma }}={\frac {\gamma \cdot \sin {\rm {A}}\cdot \sin {\rm {B}}}{\sin {\rm {\Gamma }}\cdot \cos {\frac {{\rm {A}}-{\rm {B}}}{2}}}}$.

Ανισοτική σχέση

Θεώρημα: Σε κάθε τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ με $\mathrm {AB} >\mathrm {A\Gamma }$ ισχύει ότι $\delta _{\rm {\Gamma }}<\delta _{\rm {B}}$, και αντίστροφα.

Δείτε επίσης

• Διχοτόμος γωνίας
• Εξωτερική διχοτόμος τριγώνου