Άρβηλος του Αρχιμήδη

Η άρβηλος του Αρχιμήδη είναι το γραμμοσκιασμένο σχήμα.

Το ομώνυμο εργαλείο του τσαγκάρη.

Στην γεωμετρία, δρέπανος (ή άρβηλος) του Αρχιμήδη είναι το γεωμετρικό σχήμα που σχηματίζεται από τρία ημικύκλια. Φέρει το όνομα του Αρχιμήδη που κατέγραψε διάφορες από τις ιδιότητές της στις Προτάσεις 4 έως 8 στο Βιβλίο των Λημμάτων.

Πιο συγκεκριμένα, έστω ${\rm {AB}}$ ένα ευθύγραμμο τμήμα με ${\rm {\Gamma }}$ ένα εσωτερικό του σημείο. Θεωρούμε τα ημικύκλια $C_{\rm {AB}}$, $C_{\rm {A\Gamma }}$ και $C_{\rm {\Gamma B}}$ που ορίζονται από τα αντίστοιχα ευθύγραμμα τμήματα προς την ίδια πλευρά του ${\rm {AB}}$. Τότε το σχήμα που αποτελείται από την διαφορά του μεγάλου ημικυκλίου από τα δύο μικρά, δηλαδή το $C_{\rm {AB}}-C_{\rm {A\Gamma }}-C_{\rm {\Gamma B}}$ είναι μία άρβηλος.

Ιδιότητες

Ιδιότητα άρβηλου για το εμβαδόν.

• Έστω ${\rm {\Delta }}$ το σημείο που η κοινή εφαπτομένη των ημικυκλίων $C_{\rm {A\Gamma }}$ και $C_{\rm {\Gamma B}}$ τέμνει το ημικύκλιο $C_{\rm {AB}}$. Τότε, το εμβαδόν της άρβηλου ισούται με το εμβαδόν του κύκλου με διάμετρο ${\rm {\Gamma \Delta }}$.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης.

Θεωρούμε ολόκληρο τον κύκλο με διάμετρο ${\rm {AB}}$ και ${\rm {\Delta '}}$ το σημείο που η $\Delta \Gamma$ τέμνει για δεύτερη φορά των κύκλο. Λόγω συμμετρίας έχουμε ότι ${\rm {\Delta \Delta '=2\cdot \Gamma \Delta =\delta }}$. Από το θεώρημα τεμνομένων χορδών, έχουμε ότι

${\rm {\Gamma \Delta }}\cdot {\rm {\Gamma \Delta '}}={\rm {A\Gamma }}\cdot {\rm {\Gamma B}}$.

Δηλαδή,

$\delta ^{2}={\rm {A\Gamma }}\cdot {\rm {\Gamma B}}$.

Το εμβαδόν της άρβηλου είναι ίσο με

${\begin{aligned}{\rm {E}}&={\rm {E}}_{C_{\rm {AB}}}-{\rm {E}}_{C_{\rm {A\Gamma }}}-{\rm {E}}_{C_{\rm {\Gamma B}}}\\&={\frac {\pi }{8}}({\rm {A\Gamma }}+{\rm {\Gamma B}})^{2}-{\frac {\pi }{8}}{\rm {A\Gamma }}^{2}-{\frac {\pi }{8}}{\rm {\Gamma B}}^{2}\\&={\frac {\pi }{8}}({\rm {A\Gamma }}^{2}+2\cdot {\rm {A\Gamma }}\cdot {\rm {\Gamma B}}+{\rm {\Gamma B}}^{2})-{\frac {\pi }{8}}{\rm {A\Gamma }}^{2}-{\frac {\pi }{8}}{\rm {\Gamma B}}^{2}\\&={\frac {\pi }{4}}{\rm {A\Gamma }}\cdot {\rm {\Gamma B}}\\&={\frac {\pi }{4}}\delta ^{2},\end{aligned}}$

που είναι ίσο με το εμβαδόν του κύκλο με διάμετρο ${\rm {\Gamma \Delta }}$.

Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο σε μία άρβηλο.

• Αν ${\rm {E,Z}}$ οι δεύτερες τομές του κύκλου με διάμετρο ${\rm {\Gamma \Delta }}$ με τα δύο ημικύκλια $C_{\rm {A\Gamma }}$ και $C_{\rm {\Gamma B}}$ αντίστοιχα, τότε το ${\rm {\Gamma Z\Delta E}}$ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.

Απόδειξη  

Τα τρίγωνα ${\rm {ZB\Gamma }}$ και ${\rm {E\Gamma A}}$ είναι ορθογώνια καθώς βαίνουν σε ημικύκλια. Αντίστοιχα και τα ${\rm {E\Delta \Gamma }}$ και ${\rm {Z\Gamma \Delta }}$. Συνεπώς τα ${\rm {A,E,\Delta }}$ είναι συνευθειακά σημεία, και αντίστοιχα και τα ${\rm {B,Z,\Delta }}$.

Επομένως, η ${\widehat {\rm {ZB\Gamma }}}={\widehat {\rm {\Delta B\Gamma }}}$ είναι συμπληρωματική της ${\widehat {\rm {EA\Gamma }}}={\widehat {\rm {\Delta A\Gamma }}}$

Επίσης, ${\widehat {\rm {E\Gamma \Delta }}}={\widehat {\rm {EA\Gamma }}}$ και ${\widehat {\rm {Z\Gamma \Delta }}}={\widehat {\rm {ZB\Gamma }}}$ καθώς η ${\rm {A\Gamma }}$ η κοινή εφαπτόμενη των δύο κύκλων. Άρα η ${\rm {E\Gamma Z}}$ είναι ορθή ως το άθροισμα δύο συμπληρωματικών γωνιών.

Επομένως, το τετράπλευρο ${\rm {\Gamma Z\Delta E}}$ έχει τρεις γωνίες ορθές άρα είναι ορθογώνιο.

Η κοινή εφαπτομένη των δύο μικρότερων ημικυκλίων στην άρβηλο.

• Η ευθεία ${\rm {EZ}}$ είναι εφαπτόμενη στα δύο ημικύκλια $C_{\rm {A\Gamma }}$ και $C_{\rm {\Gamma B}}$.

Απόδειξη  

Από την προηγούμενη ιδιότητα, αν ${\rm {I}}$ το σημείο τομής των διαγωνίων του ${\rm {\Gamma Z\Delta E}}$, τότε ${\rm {IE=I\Gamma }}$. Αφού ${\rm {I\Gamma \perp AB}}$, τότε επίσης ${\rm {IE}}$ κάθε στην ακτίνα στο ημικύκλιο $C_{\rm {A\Gamma }}$. Αντίστοιχα και για το σημείο ${\rm {Z}}$.

Γενίκευση

Έχουν μελετηθεί διάφορες γενικεύσεις της άρβηλου, όπως για παράδειγμα με παραβολές (πάρβηλος) ή γενικές συναρτήσεις ($f$-άρβηλος) αντί για ημικύκλια, καθώς και γενικεύσεις σε τρεις ή παραπάνω διαστάσεις με ημισφαίρια.

Άρβηλος από παραβολές.

Άρβηλος από τυχόν συνάρτηση.

Άρβηλος από ημισφαίρια.

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Διαδραστικές εφαρμογές για την άρβηλο
• Διαδραστικές δραστηριότητες για την άρβηλο
• Άρβηλος: το μαχαίρι του τσαγκάρη
• Ιδιότητες της άρβηλου

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Jobbings, Andrew (Ιουλίου 2016). «100.21 Generalising the arbelos». The Mathematical Gazette 100 (548): 329–335. doi:10.1017/mag.2016.74. 
• Okumura, Hiroshi (Μαρτίου 2013). «97.14 The area of a generalised arbelos». The Mathematical Gazette 97 (538): 157–160. doi:10.1017/S0025557200005611. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2013-03_97_538/page/157. 
• Scimone, Aldo (Νοεμβρίου 2019). «103.40 Identifying golden and equilateral triangles that arise from the golden Arbelos». The Mathematical Gazette 103 (558): 525–531. doi:10.1017/mag.2019.122. 
• Jonathan Sondow (2013). «The Parbelos, a Parabolic Analog of the Arbelos». The American Mathematical Monthly 120 (10): 929. doi:10.4169/amer.math.monthly.120.10.929. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_2013-12_120_10/page/929. 
• Boas, Harold P. (Μαρτίου 2006). «Reflections on the Arbelos». The American Mathematical Monthly 113 (3): 236–249. doi:10.1080/00029890.2006.11920301. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_2006-03_113_3/page/236. 
• Gaba, M. G. (Ιανουαρίου 1940). «On a Generalization of the Arbelos». The American Mathematical Monthly 47 (1): 19. doi:10.2307/2304052. 
• Wendijk, August; Hermann, Thomas (Ιανουαρίου 2003). «Twin Segments in the Arbelos: 10895». The American Mathematical Monthly 110 (1): 63. doi:10.2307/3072358. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_2003-01_110_1/page/63. 
• Nelsen, Roger B. (Απριλίου 2002). «Proof Without Words: The Area of an Arbelos». Mathematics Magazine 75 (2): 144–144. doi:10.1080/0025570X.2002.11953121. https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_2002-04_75_2/page/144. 
• Danneels, Eric; van Lamoen, Floor (2007). «Midcircles and the arbelos». Forum Geometricorum (7): 53-65. https://web.archive.org/web/20230327203739/https://forumgeom.fau.edu/FG2007volume7/FG200707.pdf. 

Δείτε επίσης

• Σαλινόν
• Μηνίσκοι του Ιπποκράτη