Συμμετρικό πολυώνυμο

Στα μαθηματικά, ένα πολυώνυμο $f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ με συντελεστές από τον μοναδιαίο δακτύλιο ${\mathcal {R}}$ λέγεται συμμετρικό αν ισχύει ότι

$f(x_{1},..x_{n})=f(x_{\pi (x_{1})},...,x_{\pi (x_{n})})$,

για κάθε μετάθεση $\pi$ από $n$ στοιχεία.

Παραδείγματα

• Τα παρακάτω πολυώνυμα είναι συμμετρικά:

${\begin{aligned}f(x_{1},x_{2})&=x_{1}x_{2}\\g(x_{1},x_{2},x_{3})&=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\\h(x_{1},x_{2})&=x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}.\end{aligned}}$

• Τα παρακάτω πολυώνυμα δεν είναι συμμετρικά:

${\begin{aligned}f(x_{1},x_{2},x_{3})&=x_{1}x_{2}\\g(x_{1},x_{2},x_{3})&=x_{1}^{2}x_{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\\h(x_{1},x_{2})&=x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}+x_{1}.\end{aligned}}$

• Τα στοιχειώδη συμμετρικά πολυώνυμα σε $n$ μεταβλητές ορίζονται ως εξής:

${\begin{aligned}f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=x_{1}+\ldots +x_{n}\\f_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=(x_{1}x_{2}+\ldots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+\ldots +x_{2}x_{n})+\ldots +x_{n-1}x_{n}\\&\quad \vdots \\f_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n}.\end{aligned}}$

Από τους τύπους Βιετά, αυτά τα πολυώνυμα εμφανίζονται ως συντελεστές του πολυωνύμου

$f(x)=(x-r_{1})\cdot \ldots \cdot (x-r_{n})=x^{n}-f_{1}(r_{1},\ldots ,r_{n})\cdot x^{n-1}+f_{2}(r_{1},\ldots ,r_{n})\cdot x^{n-2}-\ldots +(-1)^{n}f_{n}(r_{1},\ldots ,r_{n})$.

Δείτε επίσης

• Τύποι του Βιετά