Σπείρα του Θεοδώρου

Στη γεωμετρία, η σπείρα του Θεοδώρου (που ονομάζεται επίσης σπείρα της τετραγωνικής ρίζας, πυθαγόρεια σπείρα^[1] ή σαλιγκάρι του Πυθαγόρα)^[2] είναι μια σπείρα που αποτελείται από ορθογώνια τρίγωνα, όπου το επόμενο τρίγωνο έχει ως κάθετη την υποτείνουσα του προηγουμένου.^[3]^[4]

Πήρε το όνομά της από τον Θεόδωρο της Κυρήνης.^[5]^[6]^[7]^[8]

Κατασκευή

Η σπείρα ξεκινά με ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο, με κάθε κάθετη πλευρά να έχει μοναδιαίο μήκος. Ένα άλλο ορθογώνιο τρίγωνο (το οποίο είναι το μόνο διάμεσο ορθογώνιο τρίγωνο) σχηματίζεται, με τη μία κάθετη να είναι η υποτείνουσα του προηγούμενου ορθογωνίου τριγώνου (με μήκος την τετραγωνική ρίζα του 2) και την άλλη κάθετη να έχει μήκος 1. Το μήκος της υποτείνουσας αυτού του δεύτερου ορθογωνίου τριγώνου είναι η τετραγωνική ρίζα του 3. Η διαδικασία στη συνεχίζεται ώστε το $n$ -οστό τρίγωνο στην ακολουθία είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο με μήκη πλευρών ${\sqrt {n}}$ και 1, και με υποτείνουσα ${\sqrt {n+1}}$ . Παραδείγματος χάριν, το 16ο τρίγωνο έχει πλευρές μήκους $4={\sqrt {16}}$ , 1 και υποτείνουσα ${\sqrt {17}}$ .

Ιστορία και χρήσεις

Παρόλο που όλο το έργο του Θεόδωρου χάθηκε, ο Πλάτων έβαλε τον Θεόδωρο στον διάλογό του «Θεαίτητος», ο οποίος μιλάει για το έργο του. Θεωρείται ότι ο Θεόδωρος είχε αποδείξει ότι όλες οι τετραγωνικές ρίζες των μη τετραγωνικών ακεραίων αριθμών από το 3 έως το 17 είναι άρρητες μέσω της Σπείρας του Θεόδωρου^[9].

Ο Πλάτων δεν αποδίδει στον Θεόδωρο την αρρητότητα της τετραγωνικής ρίζας του 2, διότι ήταν γνωστή και πριν από αυτόν. Ο Θεόδωρος και ο Θεαίτητος χώρισαν τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς σε διαφορετικές κατηγορίες^[10].

…περὶ δυνάμεών τι ἡμῖν Θεόδωρος ὅδε ἔγραφε, τῆς τε τρίποδος πέρι καὶ πεντέποδος [ἀποφαίνων] ὅτι μήκει οὐ σύμμετροι τῇ ποδιαίᾳ, καὶ οὕτω κατὰ μίαν ἑκάστην προαιρούμενος μέχρι τῆς ἑπτακαιδεκάποδος.

Σε ότι αφορά τις δυνάμεις του τρία (τρία πόδια) και του πέντε (πέντε πόδια), ο Θεόδωρος μου έγραψε, ότι φαίνεται πως δεν είναι συμμετρικοί αριθμοί και το ίδιο ισχύει αν πάρουμε ένα ένα τους αριθμούς έως το δεκαεπτά (δεκαεπτά πόδια)

— Πλάτων, Θεαίτητος

Υποτείνουσα

Κάθε μια από τις υποτείνουσες των τριγώνων $h_{n}$ δίνει την τετραγωνική ρίζα του αντίστοιχου φυσικού αριθμού, με $h_{1}={\sqrt {2}}$ .

Ο Πλάτων, που διδάχθηκε από τον Θεόδωρο, διερωτήθηκε γιατί ο Θεόδωρος σταμάτησε στο ${\sqrt {17}}$ . Ο λόγος πιστεύεται συνήθως ότι είναι ότι η ${\sqrt {17}}$ υποτείνουσα ανήκει στο τελευταίο τρίγωνο που δεν επικαλύπτει το σχήμα.^[11]

Επικάλυψη

Το 1958, ο Κέιλεμπ Γουίλιαμς απέδειξε ότι καμία από τις δύο υποτείνουσες δεν θα συμπέσει ποτέ, ανεξάρτητα από το πόσο μακριά συνεχίζεται η σπείρα. Επίσης, αν οι πλευρές μοναδιαίου μήκους επεκταθούν σε μια γραμμή, δεν θα περάσουν ποτέ από κάποια από τις άλλες κορυφές του συνολικού σχήματος. ^[11]^[12]

Επέκταση

Ο Θεόδωρος σταμάτησε τη σπείρα του στο τρίγωνο με υποτείνουσα ${\sqrt {17}}$ . Αν η σπείρα συνεχιστεί σε άπειρα πολλά τρίγωνα, διαπιστώνονται πολλά ακόμη ενδιαφέροντα χαρακτηριστικά.

Ρυθμός ανάπτυξης

Γωνία

Αν $\varphi _{n}$ είναι η γωνία του $n$ -οστού τριγώνου (ή σπειροειδούς τμήματος), τότε:

\tan \left(\varphi _{n}\right)={\frac {1}{\sqrt {n}}}.

Επομένως, η αύξηση της γωνίας $\varphi _{n}$ του επόμενου τριγώνου $n$ είναι:^[2]

\varphi _{n}=\arctan \left({\frac {1}{\sqrt {n}}}\right).

Το άθροισμα των γωνιών των πρώτων $k$ τριγώνων ονομάζεται συνολική γωνία $\varphi (k)$ για το $k$ -οστό τρίγωνο. Αυξάνεται αναλογικά με την τετραγωνική ρίζα του $k$ , με έναν μικρό σταθερό όρο $c_{2}$ :^[2]

\varphi \left(k\right)=\sum _{n=1}^{k}\varphi _{n}=2{\sqrt {k}}+c_{2}(k)

,

όπου

\lim _{k\to \infty }c_{2}(k)=-2.157782996659\ldots

( A105459).

Ακτίνα

Η αύξηση της ακτίνας της σπείρας στο $n$ -οστό τρίγωνο είναι

\Delta r={\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}.

Σπείρα του Αρχιμήδη

Καθώς ο αριθμός των σπειρών τείνει στο άπειρο, η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών στροφών τείνει γρήγορα στη μαθηματική σταθερά $π$ .^[13] Η απόσταση μεταξύ δύο στροφών της σπείρας του Αρχιμήδη ισούται με τη μαθηματική σταθερά $\pi$ .^[14] Επομένως, λέμε ότι η σπείρα του Θεοδώρου προσεγγίζει την σπείρα του Αρχιμήδη, καθώς το $n$ τείνει στο άπειρο.^[2]^[15]

Ο ακόλουθος πίνακας δείχνει τις αποστάσεις μεταξύ διαδοχικών στροφών της σπείρας που τείνει στο $π$ :

Αριθμός στροφής	Μέση απόσταση από την προηγούμενη στροφή	Ακρίβεια της μέσης απόστασης σε σχέση με το $π$
2	3.1592037	99.44255%
3	3.1443455	99.91245%
4	3.14428	99.91453%
5	3.142395	99.97447%
$\to \infty$	$\to \pi$	$\to 100\%$

Όπως φαίνεται, μετά την πέμπτη μόνο στροφή, η απόσταση προσεγγίζει με ακρίβεια 99,97% το $\pi$ .^[2]

Συνεχής καμπύλη

Το ερώτημα του τρόπου παρεμβολής των διακριτών σημείων της σπείρας του Θεόδωρου με μια ομαλή καμπύλη προτάθηκε και απαντήθηκε από τον Φίλιπ Τ. Ντέιβις το 2001 με την αναλογία του τύπου του Όιλερ για τη συνάρτηση γάμμα ως παρεμβολής για την παραγοντική συνάρτηση. Ο Ντέιβις βρήκε τη συνάρτηση.^[16]^[17]^[18]

T(x)=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1+i/{\sqrt {k}}}{1+i/{\sqrt {x+k}}}}\qquad (-1<x<\infty )

η οποία μελετήθηκε περαιτέρω από τον μαθητή του Λίντερ^[19] και τον Ιζερλές.^[20] Η συνάρτηση αυτή μπορεί να χαρακτηριστεί αξιωματικά ως η μοναδική συνάρτηση που ικανοποιεί τη συναρτησιακή εξίσωση

f(x+1)=\left(1+{\frac {i}{\sqrt {x+1}}}\right)\cdot f(x),

την αρχική συνθήκη $f(0)=1,$ και μονοτονία τόσο στο στο $x$ όσο και σε απόλυτη τιμή.^[21]^[22]

Μια παραλλαγή της συνεχούς μορφής της σπείρας του Θεοδώρου του Ντέιβις ορίζεται με αντίθετη φορά από την αρχή των αξόνων.^[23]

Στο σχήμα τα σημεία της αρχικής (διακριτής) σπείρας του Θεοδώρου φαίνονται ως μικροί πράσινοι κύκλοι. Οι μπλε κύκλοι είναι εκείνοι που προστίθενται στην αντίθετη φορά της σπείρας (μόνο αυτοί που αντιστοιχούν σε ακέραιες τιμές δίνονται στο σχήμα).

Ο διακεκομμένος κύκλος στην αρχή των αξόνων $O$ είναι ο κύκλος καμπυλότητας στο $O$ .

Δημοσιεύσεις

Brannan, David A.· Esplen, Matthew F.· Gray, Jeremy J. (1998). Geometry. Cambridge University Press. ISBN 0-521-59787-0.
Boyer, Carl B. (2004) [1956]. History of Analytic Geometry. Dover. ISBN 978-0-486-43832-0.
Oakley, C. O. (1944). An Outline of the Calculus. New York: Barnes & Noble.
Coxeter, H. S. M.· Greitzer, Samuel L. (1967). Geometry Revisited. Washington, DC: Mathematical Association of America. σελ. 76.

Δείτε επίσης

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Παραπομπές

↑ u/acron. «Spiral of Pythagoras». GeoGebra (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 30 Οκτωβρίου 2024.
1 2 3 4 5 Hahn, Harry K. (2007), The ordered distribution of natural numbers on the square root spiral
↑ Beech, Martin (επιμ.). Mind The Gap: The Labyrinthine Story Of Planetary Orbits, Mathematics, And The Titius-bode Rule. σελ. 36. ISBN 9789811273995.
↑ Logan, Robert K.· Pruska-Oldenhof, Izabella (2022). A Topology of Mind: Spiral Thought Patterns, the Hyperlinking of Text, Ideas. Springer. σελ. 72. ISBN 9783030964368.
↑ Bulmer-Thomas, Ivor (1981). «Theodorus of Cyrene». Στο: Coulston Gillispie, Charles, επιμ. Dictionary of Scientific Biography. 13. New York: Charles Scribner’s Sons, σσ. 314–319. ISBN 0-684-16969-X.
↑ Macris, Constantinos (2018). «Théodore de Cyrène, le géomètre». Στο: Goulet, Richard, επιμ. Dictionnaire des philosophes antiques. 7. Paris: CNRS Éditions, σσ. 972–984. ISBN 978-2-271-09024-9.
↑ Zhmud, Leonid (2013). «Theodoros aus Kyrene». Στο: Flashar, Hellmut, επιμ. Frühgriechische Philosophie. 1. Basel: Schwabe, σσ. 420–421. ISBN 978-3-7965-2598-8.
↑ Heath, Thomas. A History of Greek Mathematics. 1. New York: Dover.
↑ Nahin, Paul J. (1998), An Imaginary Tale: The Story of ${\sqrt {-1}}$ , Princeton University Press, σελ. 33, ISBN 0-691-02795-1
↑ Plato; Dyde, Samuel Walters (1899), The Theaetetus of Plato, J. Maclehose, σελ. 86–87, https://books.google.com/books?id=wt29k-Jz8pIC
1 2 Long, Kate, A Lesson on The Root Spiral, http://courses.wcupa.edu/jkerriga/Lessons/A%20Lesson%20on%20Spirals.html, ανακτήθηκε στις 30 April 2008
↑ Teuffel, Erich (1958), «Eine Eigenschaft der Quadratwurzelschnecke», Mathematisch-Physikalische Semesterberichte zur Pflege des Zusammenhangs von Schule und Universität 6: 148–152
↑ Hahn, Harry K. (2008), The distribution of natural numbers divisible by 2, 3, 5, 7, 11, 13, and 17 on the square root spiral
↑ Protter, Murray H.· Morrey, Charles B. Jr. (1970). College Calculus with Analytic Geometry (2η έκδοση). Reading: Addison-Wesley. σελ. 372. LCCN 76087042.
↑ Kinko Tsuji· Stefan C. Müller, επιμ. (2019). Spirals and Vortices: In Culture, Nature, and Science. Switzerland: Springer. σελ. 109. doi:10.1007/978-3-030-05798-5. ISBN 978-3-030-05798-5.
↑ Davis, P. J. (2001). Spirals from Theodorus to Chaos. A K Peters/CRC Press.
↑ Gautschi, Walter. Selected Works with Commentaries. 3. σελ. 689.
↑ Lorenzo, Carl F.· Hartley, Tom T. (2016). The Fractional Trigonometry: With Applications to Fractional Differential. Wiley. σελ. 307. ISBN 9781119139423.
↑ Leader, Jeffery James (1990), The generalized Theodorus iteration, Brown University, σελ. 173
↑ Δείτε το παράρτημα στο (Davis 2001)
↑ Gronau, Detlef (March 2004). «The Spiral of Theodorus». The American Mathematical Monthly 111 (3): 230–237. doi:10.2307/4145130. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_2004-03_111_3/page/230.
↑ Heuvers, J.· Moak, D. S.· Boursaw, B (2000). «The functional equation of the square root spiral». Στο: T. M. Rassias, επιμ. Functional Equations and Inequalities. σελίδες 111–117.
↑ Waldvogel, Jörg (2009). Analytic Continuation of the Theodorus Spiral. http://www.math.ethz.ch/~waldvoge/Papers/theopaper.pdf.

[1] u/acron. «Spiral of Pythagoras». GeoGebra (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 30 Οκτωβρίου 2024.

[KAHN2-2] 1 2 3 4 5 Hahn, Harry K. (2007), The ordered distribution of natural numbers on the square root spiral

[3] Beech, Martin (επιμ.). Mind The Gap: The Labyrinthine Story Of Planetary Orbits, Mathematics, And The Titius-bode Rule. σελ. 36. ISBN 9789811273995.

[4] Logan, Robert K.· Pruska-Oldenhof, Izabella (2022). A Topology of Mind: Spiral Thought Patterns, the Hyperlinking of Text, Ideas. Springer. σελ. 72. ISBN 9783030964368.

[5] Bulmer-Thomas, Ivor (1981). «Theodorus of Cyrene». Στο: Coulston Gillispie, Charles, επιμ. Dictionary of Scientific Biography. 13. New York: Charles Scribner’s Sons, σσ. 314–319. ISBN 0-684-16969-X.

[6] Macris, Constantinos (2018). «Théodore de Cyrène, le géomètre». Στο: Goulet, Richard, επιμ. Dictionnaire des philosophes antiques. 7. Paris: CNRS Éditions, σσ. 972–984. ISBN 978-2-271-09024-9.

[7] Zhmud, Leonid (2013). «Theodoros aus Kyrene». Στο: Flashar, Hellmut, επιμ. Frühgriechische Philosophie. 1. Basel: Schwabe, σσ. 420–421. ISBN 978-3-7965-2598-8.

[8] Heath, Thomas. A History of Greek Mathematics. 1. New York: Dover.

[nahin-9] Nahin, Paul J. (1998), An Imaginary Tale: The Story of ${\sqrt {-1}}$ , Princeton University Press, σελ. 33, ISBN 0-691-02795-1

[plato-10] Plato; Dyde, Samuel Walters (1899), The Theaetetus of Plato, J. Maclehose, σελ. 86–87, https://books.google.com/books?id=wt29k-Jz8pIC

[LONG-11] 1 2 Long, Kate, A Lesson on The Root Spiral, http://courses.wcupa.edu/jkerriga/Lessons/A%20Lesson%20on%20Spirals.html, ανακτήθηκε στις 30 April 2008

[teuffel-12] Teuffel, Erich (1958), «Eine Eigenschaft der Quadratwurzelschnecke», Mathematisch-Physikalische Semesterberichte zur Pflege des Zusammenhangs von Schule und Universität 6: 148–152

[hahn-13] Hahn, Harry K. (2008), The distribution of natural numbers divisible by 2, 3, 5, 7, 11, 13, and 17 on the square root spiral

[14] Protter, Murray H.· Morrey, Charles B. Jr. (1970). College Calculus with Analytic Geometry (2η έκδοση). Reading: Addison-Wesley. σελ. 372. LCCN 76087042.

[15] Kinko Tsuji· Stefan C. Müller, επιμ. (2019). Spirals and Vortices: In Culture, Nature, and Science. Switzerland: Springer. σελ. 109. doi:10.1007/978-3-030-05798-5. ISBN 978-3-030-05798-5.

[16] Davis, P. J. (2001). Spirals from Theodorus to Chaos. A K Peters/CRC Press.

[17] Gautschi, Walter. Selected Works with Commentaries. 3. σελ. 689.

[18] Lorenzo, Carl F.· Hartley, Tom T. (2016). The Fractional Trigonometry: With Applications to Fractional Differential. Wiley. σελ. 307. ISBN 9781119139423.

[leader-19] Leader, Jeffery James (1990), The generalized Theodorus iteration, Brown University, σελ. 173

[20] Δείτε το παράρτημα στο (Davis 2001)

[21] Gronau, Detlef (March 2004). «The Spiral of Theodorus». The American Mathematical Monthly 111 (3): 230–237. doi:10.2307/4145130. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_2004-03_111_3/page/230.

[22] Heuvers, J.· Moak, D. S.· Boursaw, B (2000). «The functional equation of the square root spiral». Στο: T. M. Rassias, επιμ. Functional Equations and Inequalities. σελίδες 111–117.

[23] Waldvogel, Jörg (2009). Analytic Continuation of the Theodorus Spiral. http://www.math.ethz.ch/~waldvoge/Papers/theopaper.pdf.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]