Πίνακας περιστροφής

Περιστροφή του σημείου $\mathbf {p}$ αριστερόστροφα ως προς την αρχή των αξόνων $(0,0)$ κατά γωνία $\theta$.

Στη γραμμική άλγεβρα ο πίνακας περιστροφής είναι ο πίνακας που αντιστοιχεί στην γραμμική απεικόνιση της περιστροφής ενός σημείου αριστερόστροφα ως προς την αρχή των αξόνων. Στις δύο διαστάσεις για γωνία $\theta$, ο πίνακας της περιστροφής είναι ίσος με

$R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}$,

όπου $\sin \theta$ είναι το ημίτονο και $\cos \theta$ το συνημίτονο της γωνίας $\theta$.

Οι πίνακες αυτοί χρησιμοποιούνται στα γραφικά υπολογιστών, την ρομποτική, την μηχανική και σε άλλες επιστήμες.

Στις δύο διαστάσεις

Τύπος

Περιστροφή του σημείου $\mathbf {p} =(x,y)$ αριστερόστροφα ως προς την αρχή των αξόνων $(0,0)$ κατά γωνία $\theta$, ώστε να πάρουμε το $\mathbf {p} '=(x',y')$. Η γωνία $\phi$ είναι η γωνία του $\mathbf {p}$ με την αρχή των αξόνων και $\ell$ είναι το μήκος του $\mathbf {p}$ (και του $\mathbf {p} '$).

Στις δύο διαστάσεις ο πίνακας περιστροφής κατά γωνία $\theta$ αριστερόστροφα γύρω από την αρχή των αξόνων δίνεται ως εξής

$R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}.$

Απόδειξη

Θεωρούμε ένα σημείο $\mathbf {p} =(x,y)$ στο επίπεδο. Έστω $\ell =|\mathbf {p} |=\textstyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ η απόσταση του από την αρχή των αξόνων και $\phi$ η γωνία μεταξύ του $\mathbf {p}$ και του άξονα xx'. Τότε $x=\ell \cdot \cos \phi$ και $y=\ell \cdot \sin \phi$.

Έστω $\mathbf {p} '=(x',y')$ το σημείο $\mathbf {p}$ περιεστρεμμένο κατά γωνία $\theta$ αριστερόστροφα της αρχής των αξόνων. Τότε η γωνία του $\mathbf {p} '$ με τον xx' είναι $\phi +\theta$ και το μήκος του είναι $|\mathbf {p} '|=|\mathbf {p} |=\ell$. Επομένως, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις για το άθροισμα γωνιών, ισχύει ότι

${\begin{aligned}x'&=\ell \cdot \cos(\phi +\theta )\\&=\ell \cdot \cos \phi \cos \theta -\ell \cdot \sin \phi \sin \theta \\&=(\ell \cdot \cos \phi )\cos \theta -(\ell \cdot \sin \phi )\sin \theta \\&=x\cdot \cos \theta -y\cdot \sin \theta ,\end{aligned}}$

και

${\begin{aligned}y'&=\ell \cdot \sin(\phi +\theta )\\&=\ell \cdot \sin \phi \cos \theta +\ell \cdot \cos \phi \sin \theta \\&=(\ell \cdot \sin \phi )\cos \theta +(\ell \cdot \cos \phi )\sin \theta \\&=y\cdot \cos \theta +x\cdot \sin \theta .\end{aligned}}$

Συνεπώς, ισχύει ότι

$\mathbf {p} '={\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\cdot \cos \theta -y\cdot \sin \theta \\x\cdot \sin \theta +y\cdot \cos \theta \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=R(\theta )\cdot \mathbf {p} .$

Παραδείγματα

• Περιστροφή του $(1,0)$ κατά γωνία $\theta$ μας δίνει το σημείο $(\cos \theta ,\sin \theta )$, που είναι σημείο του μοναδιαίου κύκλου. Αυτό δίνεται και από τον τύπο

$R(\theta )\cdot {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{bmatrix}}.$

• Η περιστροφή κατά $90^{o}$ αντιστοιχεί στην

$R(90^{o})\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos(90^{o})&-\sin(90^{o})\\\sin(90^{o})&\cos(90^{o})\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-y\\x\end{bmatrix}}.$

• Η περιστροφή του σημείου $(0.3,1.1)$ κατά γωνία $53^{o}$ δίνεται από τον τύπο

$R(53^{o})\cdot {\begin{bmatrix}0.3\\1.1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos(53^{o})&-\sin(53^{o})\\\sin(53^{o})&\cos(53^{o})\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}0.3\\1.1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.601..&-0.798..\\0.798..&0.601..\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}0.3\\1.1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.601..\cdot 0.3-0.798..\cdot 1.1\\0.798..\cdot 0.3+0.601..\cdot 1.1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-0.69..\\{\phantom {-}}0.90..\end{bmatrix}}$.

Παραδείγματα περιστροφών ως προς την αρχή των αξόνων

Περιστροφή του $(0,1)$.

Περιστροφή κατά $90^{o}$.

Γενικό παράδειγμα περιστροφής.

Ιδιότητες

• Ο πίνακας $R(\theta )$ είναι αντιστρέψιμος, με αντίστροφο τον $R(-\theta )$. Αυτό προκύπτει και από την γεωμετρική ερμηνεία.

Απόδειξη  

Χρησιμοποιώντας ότι $\sin(-\theta )=\sin(\theta )$ και $\cos(-\theta )=\cos(\theta )$, έχουμε ότι

$R(\theta )\cdot R(-\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\cos(-\theta )&-\sin(-\theta )\\\sin(-\theta )&\cos(-\theta )\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}$

Πολλαπλασιάζοντας του δύο πίνακες και χρησιμοποιώντας ότι $\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1$, έχουμε ότι

${\begin{bmatrix}\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta &\cos \theta \sin \theta -\sin \theta \cos \theta \\\cos \theta \sin \theta -\sin \theta \cos \theta &\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$.

• Η Ορίζουσα του πίνακα $|R(\theta )|=1$.

Απόδειξη  

Η ορίζουσα δίνεται από τον τύπο:

$|R(\theta )|={\begin{vmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{vmatrix}}=\cos \theta \cdot \cos \theta -(-\sin \theta )\cdot \sin \theta =\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1$.

• Το γινόμενο δύο πινάκων περιστροφής με γωνίες $\theta$ και $\phi$ είναι ο πίνακας περιστροφής για την γωνία $\theta +\phi$, δηλαδή $R(\theta )\cdot R(\phi )=R(\theta +\phi )$.

Απόδειξη  

Το γινόμενο δίνεται ως εξής:

$R(\theta )\cdot R(\phi )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi \\\sin \phi &\cos \phi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta \cos \phi -\sin \theta \sin \phi &-\cos \theta \sin \phi -\sin \theta \cos \phi \\\sin \theta \cos \phi +\cos \theta \sin \phi &-\sin \theta \sin \phi +\cos \theta \cos \phi \end{bmatrix}}.$

Χρησιμοποιώντας ότι $\sin(\theta +\phi )=\sin \theta \cos \phi +\cos \theta \sin \phi$ και $\cos(\theta +\phi )=\cos \theta \cos \phi -\sin \theta \sin \phi$, έχουμε ότι

$R(\theta )\cdot R(\phi )={\begin{bmatrix}\cos(\theta +\phi )&-\sin(\theta +\phi )\\\sin(\theta +\phi )&\cos(\theta +\phi )\end{bmatrix}}=R(\theta +\phi ).$

Επομένως, το ζητούμενο έπεται.

Στις τρεις διαστάσεις

Περιστροφή γύρω από τους άξονες

Όταν θέλουμε να περιστρέψουμε ένα σημείο γύρω από έναν από τους άξονες xx', yy' ή zz', τότε η συντεταγμένη που αντιστοιχεί στον άξονα περιστροφής δεν αλλάζει και οι άλλες δύο συντεταγμένες αλλάζουν κατά τον πίνακα περιστροφής στις δύο διαστάσεις.

Επομένως, ο πίνακας για την αριστερόστροφη περιστροφή κατά γωνία $\theta$ γύρω από τον άξονα zz' δίνεται από τον πίνακα:

$R_{z}(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}.$

Αντίστοιχα ο πίνακας για την αριστερόστροφη περιστροφή γύρω από τους άξονες xx' και yy' δίνεται από τους πίνακες:

$R_{x}(\theta )={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}\quad$ και $\quad R_{y}(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&-\sin \theta \\0&1&0\\\sin \theta &0&\cos \theta \end{bmatrix}}.$