Νόμος Γκάους για τη βαρύτητα

Στη φυσική, ο νόμος του Γκάους για τη βαρύτητα, επίσης γνωστός ως θεώρημα ροής του Γκάους για τη βαρύτητα, είναι ένας νόμος της φυσικής που είναι ισοδύναμος με τον Νόμο της παγκόσμιας έλξης του Νεύτωνα. Πήρε το όνομά του από τον Καρλ Φρίντριχ Γκάους. Δηλώνει ότι η ροή (επιφανειακό ολοκλήρωμα) του βαρυτικού πεδίου πάνω σε οποιαδήποτε κλειστή επιφάνεια είναι ανάλογη της μάζας που περικλείεται. Ο νόμος του Γκάους για τη βαρύτητα είναι συχνά πιο βολικός στην εργασία από τον νόμο του Νεύτωνα.

Η μορφή του νόμου του Γκάους για τη βαρύτητα είναι μαθηματικά παρόμοια με τον νόμο του Γκάους για την ηλεκτροστατική, μία από τις εξισώσεις του Μάξγουελ. Ο νόμος του Γκάους για τη βαρύτητα έχει την ίδια μαθηματική σχέση με το νόμο του Νεύτωνα που έχει ο νόμος του Γκάους για την ηλεκτροστατική με το νόμο του Κουλόμπ. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι τόσο ο νόμος του Νεύτωνα όσο και ο νόμος του Κουλόμπ περιγράφουν την αντίστροφη τετραγωνική αλληλεπίδραση σε έναν τρισδιάστατο χώρο.

Ποιοτική δήλωση του νόμου

Κύριο άρθρο: Βαρυτικό πεδίο

Το βαρυτικό πεδίο g (που ονομάζεται επίσης βαρυτική επιτάχυνση) είναι ένα διανυσματικό πεδίο - ένα διάνυσμα σε κάθε σημείο του χώρου (και του χρόνου). Ορίζεται έτσι ώστε η βαρυτική δύναμη που δέχεται ένα σωματίδιο να ισούται με τη μάζα του σωματιδίου πολλαπλασιασμένη με το βαρυτικό πεδίο στο συγκεκριμένο σημείο.

Η βαρυτική ροή είναι ένα επιφανειακό ολοκλήρωμα του βαρυτικού πεδίου πάνω σε μια κλειστή επιφάνεια, κατ' αναλογία με το πώς η μαγνητική ροή είναι ένα επιφανειακό ολοκλήρωμα του μαγνητικού πεδίου.

Ο νόμος του Γκάους για τη βαρύτητα ορίζει:

Η βαρυτική ροή μέσω οποιασδήποτε κλειστής επιφάνειας είναι ανάλογη της περιβαλλόμενης μάζας.

Ολοκληρωτική μορφή

Η ολοκληρωτική μορφή του νόμου του Γκάους για τη βαρύτητα δηλώνει:

$\scriptstyle \partial V$$\mathbf {g} \cdot d\mathbf {A} =-4\pi GM$

όπου

• $\scriptstyle \partial V$ (επίσης γραμμένο $\oint _{\partial V}$) δηλώνει ένα επιφανειακό ολοκλήρωμα πάνω σε μια κλειστή επιφάνεια,
• ∂V είναι οποιαδήποτε κλειστή επιφάνεια (το όριο ενός αυθαίρετου όγκου V),
• dA είναι ένα διάνυσμα, του οποίου το μέγεθος είναι το εμβαδόν ενός απειροστού τμήματος της επιφάνειας ∂V, και του οποίου η κατεύθυνση είναι η προς τα έξω στρεφόμενη επιφανειακή κανονική (βλ. επιφανειακό ολοκλήρωμα για περισσότερες λεπτομέρειες),
• g είναι το βαρυτικό πεδίο,
• G είναι η παγκόσμια βαρυτική σταθερά και
• M είναι η συνολική μάζα που περικλείεται στην επιφάνεια ∂V.

Διαφορική μορφή

Η διαφορική μορφή του νόμου Γκάους για τη βαρύτητα αναφέρει

$\nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho ,$

όπου $\nabla \cdot$ δηλώνει την απόκλιση, G είναι η παγκόσμια βαρυτική σταθερά και ρ είναι η πυκνότητα μάζας σε κάθε σημείο.

Σχέση με την ολοκληρωτική μορφή

Οι δύο μορφές του νόμου του Γκάους για τη βαρύτητα είναι μαθηματικά ισοδύναμες. Το θεώρημα της απόκλισης δηλώνει:

$\oint _{\partial V}\mathbf {g} \cdot d\mathbf {A} =\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {g} \,dV$

όπου V είναι μια κλειστή περιοχή που οριοθετείται από μια απλή κλειστή προσανατολισμένη επιφάνεια ∂V και dV είναι ένα απειροελάχιστο κομμάτι του όγκου V (βλέπε ολοκλήρωμα όγκου για περισσότερες λεπτομέρειες). Το βαρυτικό πεδίο g πρέπει να είναι ένα συνεχώς διαφορίσιμο διανυσματικό πεδίο που ορίζεται σε μια γειτονιά του V.

Δεδομένου επίσης ότι

$M=\int _{V}\rho \ dV$

μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα της απόκλισης στην ολοκληρωτική μορφή του νόμου του Γκάους για τη βαρύτητα, η οποία γίνεται:

$\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {g} \ dV=-4\pi G\int _{V}\rho \ dV$

η οποία μπορεί να ξαναγραφεί:

$\int _{V}(\nabla \cdot \mathbf {g} )\ dV=\int _{V}(-4\pi G\rho )\ dV.$

Αυτό πρέπει να ισχύει ταυτόχρονα για κάθε πιθανό όγκο V. Ο μόνος τρόπος για να συμβεί αυτό είναι να είναι τα ολοκληρώματα ίσα. Ως εκ τούτου, καταλήγουμε στο

$\nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho ,$

που είναι η διαφορική μορφή του νόμου του Γκάους για τη βαρύτητα.

Είναι δυνατόν να προκύψει η ολοκληρωτική μορφή από τη διαφορική μορφή χρησιμοποιώντας το αντίστροφο αυτής της μεθόδου.

Αν και οι δύο μορφές είναι ισοδύναμες, η μία ή η άλλη μπορεί να είναι πιο βολική για χρήση σε έναν συγκεκριμένο υπολογισμό.

Σχέση με το νόμο του Νεύτωνα

Παραγωγή του νόμου του Γκάους από το νόμο του Νεύτωνα

Ο νόμος του Γκάους για τη βαρύτητα μπορεί να παραχθεί από το νόμο της παγκόσμιας βαρύτητας του Νεύτωνα, ο οποίος ορίζει ότι το βαρυτικό πεδίο που οφείλεται σε μια σημειακή μάζα είναι:

$\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-{\frac {GM}{r^{2}}}\mathbf {e_{r}}$

όπου

• e_r είναι το ακτινικό μοναδιαίο διάνυσμα,
• r είναι η ακτίνα, |r|.
• M είναι η μάζα του σωματιδίου, το οποίο θεωρείται ότι είναι μια σημειακή μάζα που βρίσκεται στην αρχή.

Μια απόδειξη με τη χρήση διανυσματικού λογισμού παρουσιάζεται στο παρακάτω πλαίσιο. Είναι μαθηματικά πανομοιότυπη με την απόδειξη του νόμου του Γκάους (στην ηλεκτροστατική) ξεκινώντας από τον νόμο του Κουλόμπ.

Περίγραμμα της απόδειξης

Τοg(r), το βαρυτικό πεδίο στο r, μπορεί να υπολογιστεί προσθέτοντας τη συνεισφορά στο g(r) που οφείλεται σε κάθε κομμάτι μάζας στο σύμπαν (βλέπε αρχή της υπέρθεσης). Για να το κάνουμε αυτό, ολοκληρώνουμε σε κάθε σημείο s στο χώρο, προσθέτοντας τη συνεισφορά στο g(r) που σχετίζεται με τη μάζα (αν υπάρχει) στο s, όπου η συνεισφορά αυτή υπολογίζεται από το νόμο του Νεύτωνα. Το αποτέλεσμα είναι:

$\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G\int \rho (\mathbf {s} ){\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |^{3}}}d^{3}\mathbf {s} .$

(d³s σημαίνει ds_xds_yds_z, καθένα από τα οποία ολοκληρώνεται από το −∞ to +∞.) ν πάρουμε την απόκλιση και των δύο πλευρών αυτής της εξίσωσης ως προς r, και χρησιμοποιήσουμε το γνωστό θεώρημα

$\nabla \cdot \left({\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\right)=4\pi \delta (\mathbf {r} )$

όπου δ(r) είναι η συνάρτηση δέλτα Ντιράκ, το αποτέλεσμα είναι

$\nabla \cdot \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-4\pi G\int \rho (\mathbf {s} )\ \delta (\mathbf {r} -\mathbf {s} )\ d^{3}\mathbf {s} .$

Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα κοσκινίσματος της συνάρτησης δέλτα Ντιράκ, καταλήγουμε στο

$\nabla \cdot \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-4\pi G\rho (\mathbf {r} )$

που είναι η διαφορική μορφή του νόμου του Γκάους για τη βαρύτητα, όπως είναι επιθυμητό.

Παραγωγή του νόμου του Νεύτωνα από το νόμο του Γκάους και την αμεταβλητότητα

Είναι αδύνατο να αποδείξουμε μαθηματικά το νόμο του Νεύτωνα μόνο από το νόμο του Γκάους, επειδή ο νόμος του Γκάους προσδιορίζει την απόκλιση του g αλλά δεν περιέχει καμία πληροφορία σχετικά με την καμπυλότητα του g (βλ. θεώρημα Χέλμχολτς). Εκτός από το νόμο του Γκάους, χρησιμοποιείται η υπόθεση ότι το g είναι μη περιστροφικό (έχει μηδενική κύρτωση), καθώς η βαρύτητα είναι μια συντηρητική δύναμη:

$\nabla \times \mathbf {g} =0$

Ακόμα και αυτές δεν είναι αρκετές: Οριακές συνθήκες για το g είναι επίσης απαραίτητες για την απόδειξη του νόμου του Νεύτωνα, όπως η υπόθεση ότι το πεδίο είναι μηδέν σε άπειρη απόσταση από μια μάζα.

Η απόδειξη του νόμου του Νεύτωνα από αυτές τις υποθέσεις είναι η εξής:

Περίγραμμα της απόδειξης

Ας ξεκινήσουμε με την ολοκληρωτική μορφή του νόμου του Γκάους:

$\oint _{\partial V}\mathbf {g} \cdot d\mathbf {A} =-4\pi GM.$

Ισχύει αυτός ο νόμος στην περίπτωση όπου ο όγκος V είναι μια σφαίρα ακτίνας “'r”' με κέντρο μια σημειακή μάζα M. Είναι λογικό να περιμένουμε το βαρυτικό πεδίο από μια σημειακή μάζα να είναι σφαιρικά συμμετρικό. (Παραλείπουμε την απόδειξη για λόγους απλότητας.) Κάνοντας αυτή την παραδοχή, το g παίρνει την ακόλουθη μορφή:

$\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-g(r)\,\mathbf {e_{r}}$

(δηλαδή, η κατεύθυνση του g είναι αντιπαράλληλη προς τη κατεύθυνση του r, και το μέγεθος του g εξαρτάται μόνο από το μέγεθος, όχι από την κατεύθυνση, του r). Συνδέοντας αυτό και χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι η ∂V είναι μια σφαιρική επιφάνεια με σταθερό r και εμβαδόν $4\pi r^{2}$,

$g(r)\oint _{\partial V}(-\mathbf {e_{r}} )\cdot d\mathbf {A} =-4\pi GM$

$g(r)\cdot (-4\pi r^{2})=-4\pi GM$

$g(r)={\frac {GM}{r^{2}}}$

$\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-GM{\frac {\mathbf {e_{r}} }{r^{2}}}$

που είναι ο νόμος του Νεύτωνα.

Εξίσωση του Πουασόν και βαρυτική δυναμική

Δεδομένου ότι το βαρυτικό πεδίο έχει μηδενική κύρτωση (ισοδύναμα, η βαρύτητα είναι μια συντηρητική δύναμη), όπως αναφέρθηκε παραπάνω, μπορεί να γραφεί ως η κλίση ενός βαθμωτού δυναμικού, που ονομάζεται βαρυτικό δυναμικό:

$\mathbf {g} =-\nabla \phi .$

Τότε η διαφορική μορφή του νόμου του Γκάους για τη βαρύτητα γίνεται η εξίσωση του Πουασόν:

$\nabla ^{2}\phi =4\pi G\rho .$

Αυτό παρέχει έναν εναλλακτικό τρόπο υπολογισμού του βαρυτικού δυναμικού και του βαρυτικού πεδίου. Αν και ο υπολογισμός του g μέσω της εξίσωσης του Πουασόν είναι μαθηματικά ισοδύναμος με τον υπολογισμό του g απευθείας από το νόμο του Γκάους, η μία ή η άλλη προσέγγιση μπορεί να είναι ευκολότερος υπολογισμός σε μια δεδομένη κατάσταση.

Σε ακτινικά συμμετρικά συστήματα, το βαρυτικό δυναμικό είναι συνάρτηση μόνο μιας μεταβλητής (συγκεκριμένα, $r=|\mathbf {r} |$)), και η εξίσωση του Πουασόν γίνεται (βλέπε Del σε κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες):

${\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}\,{\frac {\partial \phi }{\partial r}}\right)=4\pi G\rho (r)$

ενώ το βαρυτικό πεδίο είναι:

$\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\mathbf {e_{r}} {\frac {\partial \phi }{\partial r}}.$

Κατά την επίλυση της εξίσωσης πρέπει να λαμβάνεται υπόψη ότι στην περίπτωση των πεπερασμένων πυκνοτήτων το ∂ϕ/∂r πρέπει να είναι συνεχές στα όρια (ασυνέχειες της πυκνότητας) και μηδέν για r = 0.

Εφαρμογές

Ο νόμος του Γκάους μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εύκολη εξαγωγή του βαρυτικού πεδίου σε ορισμένες περιπτώσεις όπου η άμεση εφαρμογή του νόμου του Νεύτωνα θα ήταν πιο δύσκολη (αλλά όχι αδύνατη). Δείτε το λήμμα Γκαουσιανή επιφάνεια για περισσότερες λεπτομέρειες. Τρεις τέτοιες εφαρμογές είναι οι ακόλουθες:

Πλάκα Μπουγκέ

Μπορούμε να συμπεράνουμε (χρησιμοποιώντας ένα "Γκαουσιανό κουτί "pillbox") ότι για μια άπειρη, επίπεδη πλάκα (πλάκα Μπουγκέ) οποιουδήποτε πεπερασμένου πάχους, το βαρυτικό πεδίο έξω από την πλάκα είναι κάθετο στην πλάκα, προς αυτήν, με μέγεθος 2πG φορές τη μάζα ανά μονάδα επιφάνειας, ανεξάρτητα από την απόσταση από την πλάκα (βλέπε επίσης ανωμαλίες βαρύτητας).

Γενικότερα, για μια κατανομή μάζας με την πυκνότητα να εξαρτάται μόνο από μια καρτεσιανή συντεταγμένη z, η βαρύτητα για κάθε z είναι z is 2πG επί τη διαφορά της μάζας ανά μονάδα επιφάνειας εκατέρωθεν αυτής της τιμής z.

Ειδικότερα, ένας παράλληλος συνδυασμός δύο παράλληλων άπειρων πλακών ίσης μάζας ανά μονάδα επιφάνειας δεν παράγει βαρυτικό πεδίο μεταξύ τους.

Κυλινδρικά συμμετρική κατανομή μάζας

Στην περίπτωση μιας άπειρης ομοιόμορφης (στο z) κυλινδρικά συμμετρικής κατανομής μάζας μπορούμε να συμπεράνουμε (χρησιμοποιώντας μια κυλινδρική Γκαουσιανή επιφάνεια) ότι η ένταση του πεδίου σε μια απόσταση r από το κέντρο είναι προς τα μέσα με μέγεθος 2G/r φορές τη συνολική μάζα ανά μονάδα μήκους σε μια μικρότερη απόσταση (από τον άξονα), ανεξάρτητα από τυχόν μάζες σε μεγαλύτερη απόσταση.

Παραδείγματος χάριν, μέσα σε έναν άπειρο ομοιόμορφο κοίλο κύλινδρο, το πεδίο είναι μηδέν.

Σφαιρικά συμμετρική κατανομή μάζας

Στην περίπτωση μιας σφαιρικά συμμετρικής κατανομής μάζας μπορούμε να συμπεράνουμε (χρησιμοποιώντας μια σφαιρική Γκαουσιανή επιφάνεια) ότι η ένταση του πεδίου σε μια απόσταση r από το κέντρο είναι προς τα μέσα με μέγεθος G/r² φορές μόνο τη συνολική μάζα σε μικρότερη απόσταση από “'r”'. Όλη η μάζα σε μεγαλύτερη απόσταση από “'r”' από το κέντρο δεν έχει καμία προκύπτουσα επίδραση.

Για παράδειγμα, μια κοίλη σφαίρα δεν παράγει καθαρή βαρύτητα στο εσωτερικό της. Το βαρυτικό πεδίο στο εσωτερικό είναι το ίδιο σαν να μην υπήρχε η κοίλη σφαίρα (δηλαδή το πεδίο που προκύπτει είναι αυτό όλων των μαζών που δεν περιλαμβάνουν τη σφαίρα, οι οποίες μπορεί να βρίσκονται μέσα και έξω από τη σφαίρα).

Αν και προκύπτει με μία ή δύο γραμμές άλγεβρας από τον νόμο του Γκάους για τη βαρύτητα, ο Ισαάκ Νεύτων χρειάστηκε αρκετές σελίδες δύσκολου υπολογισμού για να το παραγάγει απευθείας χρησιμοποιώντας τον νόμο της βαρύτητάς του- δείτε το άρθρο Θεώρημα του κελύφους για αυτή την απευθείας εξαγωγή.

Παραγωγή από τη Λαγκρανζιανή

Κύριο άρθρο: Λαγκρανζιανή συνάρτηση

Η λαγκρανζιανή συνάρτηση για τη Νευτώνεια βαρύτητα είναι

${\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-\rho (\mathbf {x} ,t)\phi (\mathbf {x} ,t)-{1 \over 8\pi G}(\nabla \phi (\mathbf {x} ,t))^{2}$

Εφαρμόζοντας την αρχή του Χάμιλτον σε αυτή τη Λαγκρανζιανή, το αποτέλεσμα είναι ο νόμος του Γκάους για τη βαρύτητα:

$4\pi G\rho (\mathbf {x} ,t)=\nabla ^{2}\phi (\mathbf {x} ,t).$

Βλ.. Λαγκρανζιανή συνάρτηση για λεπτομέρειες.

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Μορφοκλασματική διάσταση
• Διδιάστατος χώρος
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Υπερβολική γεωμετρία
• Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Υπολογιστική ρευστοδυναμική
• Καμπυλότητα Γκάους
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Διάσταση Κρουλ
• Συνήθης διαφορική εξίσωση
• Γραμμική απεικόνιση

Βιβλιογραφία

• Blakely, Richard J. (13 Σεπτεμβρίου 1996). Potential Theory in Gravity and Magnetic Applications. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57547-8. 
• Mannheim, Philip D. (2005). Brane-localized Gravity. World Scientific. ISBN 978-981-256-561-7. 
• Kamberaj, Hiqmet (20 Σεπτεμβρίου 2021). Classical Mechanics. Walter de Gruyter GmbH & Co KG. ISBN 978-3-11-075582-4. 
• Eerten, Hendrik Jan van (25 Ιανουαρίου 2024). Introduction to Fluid Dynamics in Physics and Astrophysics. CRC Press. ISBN 978-1-003-81960-8. 
• Kelly, P. F. (7 Μαΐου 2014). Elements of Mechanics. CRC Press. ISBN 978-1-4822-0654-8. 
• Pelcovits, Robert A.· Farkas, Joshua (2 Αυγούστου 2022). AP Physics C Premium, 2023: 4 Practice Tests + Comprehensive Review + Online Practice. Simon and Schuster. ISBN 978-1-5062-8115-5. 
• Manglik, Mr Rohit (18 Μαρτίου 2024). Partial Differential Equation and Mechanics. EduGorilla Publication. ISBN 978-93-6984-119-6. 
• Baker, Joanne (18 Αυγούστου 2022). 50 Physics Ideas You Really Need to Know. Quercus. ISBN 978-1-5294-2872-8. 
• Hassani, Sadri (27 Οκτωβρίου 2008). Mathematical Methods: For Students of Physics and Related Fields. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-09503-5. 
• Hsu, Jong-ping· Li, Xin Zhou (31 Οκτωβρίου 2000). Gravitation & Astrophysics, 4th Intl Workshop. World Scientific. ISBN 978-981-4542-78-4. 

Παραπομπές

• L.D. Landau, E.M. Lifshitz (1975). The Classical Theory of Fields. 2 (4th έκδοση). Butterworth–Heineman. ISBN 978-0-7506-2768-9. 
• J. D. Jackson (1998). Classical Electrodynamics (3rd έκδοση). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-30932-1. 
• Boothby, William (1986). An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry. Pure and Applied Mathematics, volume 120 (second έκδοση). Orlando, FL: Academic Press. ISBN 0-12-116053-X. 
• Watson, G. N. (1966). A Treatise on the Theory of Bessel Functions, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press. MR 1349110. 
• Fewell, M. P. (2006). «Area of common overlap of three circles». Defence Science and Technology Organisation. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 3 Μαρτίου 2022. 
• White, Joseph F. (1 Αυγούστου 2016). High Frequency Techniques: An Introduction to RF and Microwave Design and Computer Simulation. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-119-24450-9. 
• Slater, John C.· Frank, Nathaniel H. (9 Μαρτίου 2012). Electromagnetism. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-15040-6. 
• Barrera, Tony; Hast, Anders; Bengtsson, Ewert, «Surface Construction with Near Least Square Acceleration based on Vertex Normals on Triangular Meshes», στο: Ollila, Mark, επιμ., SIGRAD 2002, σελ. 43–48, https://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:968852/FULLTEXT01.pdf#page=49 
• Martin, Ralph R. (6 Αυγούστου 2009). Mathematics of Surfaces XIII: 13th IMA International Conference York, UK, September 7-9, 2009 Proceedings. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-03595-1. 
• Iskovskikh, V.A. (2001), «Ruled surface», στο: Hazewinkel, Michiel, επιμ., Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=R/r082790 
• Sharp, John (2008), D-Forms: surprising new 3-D forms from flat curved shapes, Tarquin, ISBN 978-1-899618-87-3 . Review: Séquin, Carlo H. (2009), Journal of Mathematics and the Arts 3: 229–230,
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Section 6.3. Exponential Integrals», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd έκδοση), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=266, ανακτήθηκε στις 2011-08-09 
• Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.