Μερομορφική συνάρτηση

Στη μιγαδική ανάλυση, μια μερομορφική συνάρτηση σε ένα ανοιχτό υποσύνολο D του μιγαδικού επιπέδου είναι μια συνάρτηση η οποία είναι ολομορφική στο D εκτός από τα απομονωμένα σημεία τα οποία είναι πόλοι για τη συνάρτηση.^[1]^[2]

Κάθε μερομορφική συνάρτηση στο D μπορεί να γραφτεί ως πηλίκο δύο ολομορφικών συναρτήσεων (ο παρονομαστής δεν μπορεί να είναι η μηδενική συνάρτηση) και με τον κανόνα για κάθε πόλο στο D να υπάρχει μια ρίζα στο D.

Ευρετική μέθοδος

Διαισθητικά, μια μερομορφική συνάρτηση είναι ο λόγος δύο καλά συμπεριφερόμενων (ολομορφικών) συναρτήσεων. Μια τέτοια συνάρτηση εξακολουθεί να είναι καλά συμπεριφερόμενη, εκτός ενδεχομένως από τα σημεία όπου ο παρονομαστής του κλάσματος είναι μηδέν. Αν ο παρονομαστής έχει μηδέν στο z και ο αριθμητής όχι, τότε η τιμή της συνάρτησης θα πλησιάζει το άπειρο- αν και τα δύο μέρη έχουν μηδέν στο z, τότε πρέπει να συγκρίνουμε την πολλαπλότητα αυτών των μηδενικών.

Από αλγεβρική άποψη, εάν η περιοχή της συνάρτησης είναι συνδεδεμένη, τότε το σύνολο των μερομορφικών συναρτήσεων είναι το σώμα των κλασμάτων της ακέραιας περιοχής του συνόλου των ολομορφικών συναρτήσεων. Αυτό είναι ανάλογο με τη σχέση μεταξύ των ρητών αριθμών και των ακεραίων αριθμών.

Προηγούμενη χρήση, εναλλακτική

Τόσο το σώμα των μελετών στο οποίο χρησιμοποιείται ο όρος όσο και η ακριβής σημασία του όρου άλλαξαν κατά τον 20ο αιώνα. Στη δεκαετία του 1930, στη θεωρία ομάδων, μια μερομορφική συνάρτηση (ή μερομορφική) ήταν μια συνάρτηση από μια ομάδα G στον εαυτό της που διατηρούσε το γινόμενο στην ομάδα. Η εικόνα αυτής της συνάρτησης ονομαζόταν αυτομορφισμός της G.^[3] Ομοίως, μια ομομορφική συνάρτηση (ή “ομομορφική”) ήταν μια συνάρτηση μεταξύ ομάδων που διατηρούσε το γινόμενο, ενώ ένας ομομορφισμός ήταν η εικόνα μιας ομομορφικής συνάρτησης. Αυτή η μορφή του όρου είναι πλέον απαρχαιωμένη, και ο σχετικός όρος μερομορφικός δεν χρησιμοποιείται πλέον στη θεωρία ομάδων. Ο όρος ενδομορφισμός χρησιμοποιείται πλέον για την ίδια τη συνάρτηση, χωρίς να δίνεται ειδικό όνομα στην εικόνα της συνάρτησης.

Μια μερομορφική συνάρτηση δεν είναι απαραιτήτως ενδομορφισμός, δεδομένου ότι τα μιγαδικά σημεία στους πόλους της δεν βρίσκονται στην περιοχή της, αλλά μπορεί να βρίσκονται στο εύρος της.

Ιδιότητες

Καθώς οι πόλοι είναι απομονωμένοι, υπάρχει το πολύ ένας μετρήσιμος αριθμός από αυτούς για μια μερομορφική συνάρτηση^[4] Το σύνολο των πόλων μπορεί να είναι άπειρο, όπως φαίνεται από τη συνάρτηση.^[5]

f(z)=\csc z={\frac {1}{\sin z}}.

Με τη χρήση της αναλυτικής συνέχειας για την εξάλειψη των αφαιρούμενων ιδιομορφιών, οι μερομορφικές συναρτήσεις μπορούν να προστεθούν, να αφαιρεθούν, να πολλαπλασιαστούν και το πηλίκο $f/g$ μπορεί να σχηματιστεί εκτός αν $g(z)=0$ σε μια συνδεδεμένη συνιστώσα του D. Έτσι, αν το «“D»” είναι συνδεδεμένο, οι μερομορφικές συναρτήσεις σχηματίζουν ένα σώμα, στην πραγματικότητα μια επέκταση του σώματος των μιγαδικών αριθμών.

Ανώτερες διαστάσεις

Σε πολλές μιγαδικές μεταβλητές, μια μερομορφική συνάρτηση ορίζεται ως τοπικό πηλίκο δύο ολομορφικών συναρτήσεων. Επί παραδείγματι, $f(z_{1},z_{2})=z_{1}/z_{2}$ είναι μια μερομορφική συνάρτηση στον δισδιάστατο μιγαδικό αφινικό χώρο. Εδώ δεν ισχύει πλέον ότι κάθε μερομορφική συνάρτηση μπορεί να θεωρηθεί ως ολομορφική συνάρτηση με τιμές στη σφαίρα Ρίμαν: Υπάρχει ένα σύνολο "απροσδιοριστίας" συνδιαστάσεων δύο (στο συγκεκριμένο παράδειγμα το σύνολο αυτό αποτελείται από την αρχή $(0,0)$ ).

Σε αντίθεση με τη διάσταση ένα, στις υψηλότερες διαστάσεις υπάρχουν συμπαγείς μιγαδικές πολλαπλότητες στις οποίες δεν υπάρχουν μη σταθερές μερομορφικές συναρτήσεις, όπως, λόγου χάριν, οι περισσότεροι μιγαδικοί τόροι.

Παραδείγματα

Όλες οι ρητές συναρτήσεις,^[4]
Όλες οι ρητές συναρτήσεις, παραδείγματος χάριν $f(z)={\frac {z^{3}-2z+10}{z^{5}+3z-1}},$ είναι μερομορφικές σε ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο. Επιπλέον, είναι οι μόνες μερομορφικές συναρτήσεις στο εκτεταμένο μιγαδικό επίπεδο.
Οι συναρτήσεις $f(z)={\frac {e^{z}}{z}}\quad {\text{and}}\quad f(z)={\frac {\sin {z}}{(z-1)^{2}}}$ καθώς και η συνάρτηση γάμμα και η συνάρτηση ζήτα του Ρίμαν είναι μερομορφικές σε ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο.^[4]
Η συνάρτηση $f(z)=e^{\frac {1}{z}}$ ορίζεται σε ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο εκτός από την αρχή, 0. Ωστόσο, το 0 δεν είναι πόλος αυτής της συνάρτησης, αλλά μια ουσιαστική ιδιομορφία. Έτσι, η συνάρτηση αυτή δεν είναι μερομορφική σε ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο. Ωστόσο, είναι μερομορφική (ακόμη και ολομορφική) στο $\mathbb {C} \setminus \{0\}$ .
Η συνάρτηση του μιγαδικού λογαρίθμου $f(z)=\ln(z)$ δεν είναι μερομορφική σε ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο, καθώς δεν μπορεί να οριστεί σε ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο αποκλείοντας μόνο ένα σύνολο απομονωμένων σημείων.^[4]
Η συνάρτηση $f(z)=\csc {\frac {1}{z}}={\frac {1}{\sin \left({\frac {1}{z}}\right)}}$ δεν είναι μερομορφική σε ολόκληρο το επίπεδο, αφού το σημείο $z=0$ είναι σημείο συσσώρευσης πόλων και επομένως δεν είναι απομονωμένη ιδιομορφία.^[4]
Η συνάρτηση $f(z)=\sin {\frac {1}{z}}$ δεν είναι επίσης μερομορφική, καθώς έχει μια ουσιαστική ιδιομορφία στο 0.

Σε επιφάνειες Ρίμαν

Σε μια επιφάνεια Ρίμαν, κάθε σημείο δέχεται μια ανοικτή γειτονιά που είναι διολόμορφη με ένα ανοικτό υποσύνολο του μιγαδικού επιπέδου. Έτσι, η έννοια της μερομορφικής συνάρτησης μπορεί να οριστεί για κάθε επιφάνεια Ρίμαν. Όταν D είναι ολόκληρη η σφαίρα Ρίμαν, το σώμα των μερομορφικών συναρτήσεων είναι απλά το σώμα των ρητών συναρτήσεων μιας μεταβλητής πάνω στο μιγαδικό σώμα, αφού μπορεί κανείς να αποδείξει ότι κάθε μερομορφική συνάρτηση στη σφαίρα είναι ρητή. (Αυτή είναι μια ειδική περίπτωση της λεγόμενης αρχής GAGA).

Για κάθε επιφάνεια Ρίμαν, μια μερομορφική συνάρτηση είναι η ίδια με μια ολομορφική συνάρτηση που απεικονίζεται στη σφαίρα Ρίμαν και η οποία δεν είναι η σταθερή συνάρτηση ίση με ∞. Οι πόλοι αντιστοιχούν σε εκείνους τους μιγαδικούς αριθμούς που απεικονίζονται στο ∞.

Σε μια μη συμπαγή επιφάνεια Ρίμαν, κάθε μερομορφική συνάρτηση μπορεί να υλοποιηθεί ως πηλίκο δύο (σφαιρικά καθορισμένων) ολομορφικών συναρτήσεων. Αντίθετα, σε μια συμπαγή επιφάνεια Ρίμαν, κάθε ολομορφική συνάρτηση είναι σταθερή, ενώ υπάρχουν πάντα μη σταθερές μερομορφικές συναρτήσεις.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου.

Παραπομπές

↑ Weisstein, Eric W. «Meromorphic Function». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 30 Ιουνίου 2025.
↑ Hazewinkel, Michiel, επιμ. (2001). «Meromorphic function». Encyclopedia of Mathematics. Springer Science+Business Media B.V.; Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-1-55608-010-4. https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/m063460. ^{[νεκρός σύνδεσμος]}
↑ Zassenhaus, Hans (1937). Lehrbuch der Gruppentheorie (1st έκδοση). Leipzig; Berlin: B. G. Teubner Verlag. σελίδες 29, 41.
1 2 3 4 5 Lang, Serge (1999). Complex analysis (4th έκδοση). Berlin; New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98592-3.
↑ «The properties of meromorphic functions shared values with their difference operators - scienceasia.org» (PDF).

[1] Weisstein, Eric W. «Meromorphic Function». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 30 Ιουνίου 2025.

[Hazewinkel_2001-2] Hazewinkel, Michiel, επιμ. (2001). «Meromorphic function». Encyclopedia of Mathematics. Springer Science+Business Media B.V.; Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-1-55608-010-4. https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/m063460. ^{[νεκρός σύνδεσμος]}

[3] Zassenhaus, Hans (1937). Lehrbuch der Gruppentheorie (1st έκδοση). Leipzig; Berlin: B. G. Teubner Verlag. σελίδες 29, 41.

[Lang_1999-4] 1 2 3 4 5 Lang, Serge (1999). Complex analysis (4th έκδοση). Berlin; New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98592-3.

[5] «The properties of meromorphic functions shared values with their difference operators - scienceasia.org» (PDF).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]