Κυκλοτομικό σώμα

Ως m-οστό κυκλοτομικό σώμα ( $m^{th}$ cyclotomic field)^[1]^[2] ορίζουμε το σώμα που προκύπτει επισυνάπτοντας στο $\mathbb {Q}$ μια πρωταρχική m-th ρίζα της μονάδας ,δηλαδή είναι της μορφής $\mathbb {Q} (e^{\frac {2\pi ki}{m}})$ με $(k,m)=1$ .Το σώμα αυτό περιέχει όλες τις m-th ρίζες της μονάδας και είναι το σώμα ριζών (spliting field) του m-th κυκλοτομικού πολυωνύμου.Ακόμα ισχύει ότι $[\mathbb {Q} (e^{\frac {2\pi ki}{m}}):\mathbb {Q} ]=\phi (m)$ όπου $(k,m)=1$ και ${\mathcal {\phi }}$ η αριθμητική συνάρτηση του Όιλερ.

Ορισμός

Για $n\geq 1$ , έστω

\zeta _{n}=\left\{e^{\frac {2k\pi i}{n}}\;|n,k\in \mathbb {N} \;\gcd(n,k)=1\right\}

.

Πρόκειται για μια πρωταρχική $n$ -th ρίζα της ενότητας. Τότε το $n$ th κυκλοτομικό σώμα είναι η επέκταση του σώματος $\mathbb {Q} (\zeta _{n})$ του $\mathbb {Q}$ που παράγεται από το $\zeta _{n}$ .^[3]

Παράδειγμα

Στην περίπτωση που m=p πρώτος έχουμε ότι το p-οστό κυκλοτομικό σώμα είναι το $\mathbb {Q} (e^{\frac {2\pi i}{m}})$ και επιπλέον ότι $Irr(e^{\frac {2\pi i}{m}},\mathbb {Q} )=t^{p-1}+t^{p-2}+..+t+1$ οπότε $[\mathbb {Q} (e^{\frac {2\pi i}{m}}):\mathbb {Q} ]=p-1=\phi (p)$ .

Κατάλογος των αριθμών τάξης των κυκλοτομικών σωμάτων

(ακολουθία A061653 στην OEIS), ή (ακολουθία A055513 στην OEIS) ή (ακολουθία A000927 στην OEIS)} για το $h$ -μέρος (για πρώτο n)

1-22: 1
23: 3
24-28: 1
29: 8
30: 1
31: 9
32-36: 1
37: 37
38: 1
39: 2
40: 1
41: 121
42: 1
43: 211
44: 1
45: 1
46: 3
47: 695
48: 1
49: 43
50: 1
51: 5
52: 3
53: 4889
54: 1
55: 10
56: 2
57: 9
58: 8
59: 41241
60: 1
61: 76301
62: 9
63: 7
64: 17
65: 64
66: 1
67: 853513
68: 8
69: 69
70: 1
71: 3882809
72: 3
73: 11957417
74: 37
75: 11
76: 19
77: 1280
78: 2
79: 100146415
80: 5
81: 2593
82: 121
83: 838216959
84: 1
85: 6205
86: 211
87: 1536
88: 55
89: 13379363737
90: 1
91: 53872
92: 201
93: 6795
94: 695
95: 107692
96: 9
97: 411322824001
98: 43
99: 2883
100: 55
101: 3547404378125
102: 5
103: 9069094643165
104: 351
105: 13
106: 4889
107: 63434933542623
108: 19
109: 161784800122409
110: 10
111: 480852
112: 468
113: 1612072001362952
114: 9
115: 44697909
116: 10752
117: 132678
118: 41241
119: 1238459625
120: 4
121: 12188792628211
122: 76301
123: 8425472
124: 45756
125: 57708445601
126: 7
127: 2604529186263992195
128: 359057
129: 37821539
130: 64
131: 28496379729272136525
132: 11
133: 157577452812
134: 853513
135: 75961
136: 111744
137: 646901570175200968153
138: 69
139: 1753848916484925681747
140: 39
141: 1257700495
142: 3882809
143: 36027143124175
144: 507
145: 1467250393088
146: 11957417
147: 5874617
148: 4827501
149: 687887859687174720123201
150: 11
151: 2333546653547742584439257
152: 1666737
153: 2416282880
154: 1280
155: 84473643916800
156: 156
157: 56234327700401832767069245
158: 100146415
159: 223233182255
160: 31365

Πηγές

Bryan Birch, "Cyclotomic fields and Kummer extensions", in J.W.S. Cassels and A. Frohlich (edd), Algebraic number theory, en:Academic Press, 1973. Chap.III, pp. 45–93.
Daniel A. Marcus, Number Fields, first edition, Springer-Verlag, 1977
Washington, Lawrence C. (1997), Introduction to Cyclotomic Fields, Graduate Texts in Mathematics, 83 (2 έκδοση), New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-1934-7, ISBN 0-387-94762-0
en:Serge Lang, Cyclotomic Fields I and II, Combined second edition. With an appendix by Karl Rubin. Graduate Texts in Mathematic, 121. Springer-Verlag, New York, 1990. ISBN 0-387-96671-4

Βιβλιογραφία

Coates, John· Sujatha, R. (2006). Cyclotomic Fields and Zeta Values. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 3-540-33068-2. Zbl 1100.11002.
Weisstein, Eric W., "Cyclotomic Field" από το MathWorld.
Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Cyclotomic field», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/c027570
Yamagata, Koji; Yamagishi, Masakazu (2016). «On the ring of integers of real cyclotomic fields». Proc. Japan Academy, Series A, Math. Sciences 92 (6). doi:10.3792/pjaa.92.73. ISSN 0386-2194.

Παραπομπές

↑ Weisstein, Eric W. «Cyclotomic Field». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 9 Ιουνίου 2025.
↑ «Introduction - Cyclotomic Fields». crypto.stanford.edu. Ανακτήθηκε στις 9 Ιουνίου 2025.
↑ «cyclotomic field». planetmath.org. Ανακτήθηκε στις 9 Ιουνίου 2025.

[1] Weisstein, Eric W. «Cyclotomic Field». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 9 Ιουνίου 2025.

[2] «Introduction - Cyclotomic Fields». crypto.stanford.edu. Ανακτήθηκε στις 9 Ιουνίου 2025.

[3] «cyclotomic field». planetmath.org. Ανακτήθηκε στις 9 Ιουνίου 2025.

[1]

[2]

[3]