Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Σε έναν διανυσματικό χώρο , δύο διανύσματα είναι κάθετα (ή ορθογώνια ) αν το εσωτερικό τους γινόμενο ισούται με το μηδέν.[ 1]
Πιο συγκεκριμένα, έστω ένα διανυσματικός χώρος
V
{\displaystyle V}
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
a
,
b
∈
V
{\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \in V}
⟨
a
,
b
⟩
=
0
{\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =0}
Η έννοια των κάθετων διανυσμάτων γενικεύει την έννοια της καθετότητας σε δύο ή τρεις διαστάσεις, όπου δύο διανύσματα είναι κάθετα αν η μεταξύ τους γωνία είναι ορθή . Αυτό ισχύει καθώς
⟨
a
,
b
⟩
=
|
a
|
⋅
|
b
|
⋅
cos
θ
{\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |\cdot \cos \theta }
όπου
θ
{\displaystyle \theta }
⟨
a
,
b
⟩
=
0
{\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =0}
θ
=
90
∘
{\displaystyle \theta =90^{\circ }}
θ
=
−
90
∘
{\displaystyle \theta =-90^{\circ }}
Τα διανύσματα
a
=
(
3
,
4
)
{\displaystyle \mathbf {a} =(3,4)}
b
=
(
8
,
−
6
)
{\displaystyle \mathbf {b} =(8,-6)}
a
⋅
b
=
3
⋅
8
+
4
⋅
(
−
6
)
=
24
−
24
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =3\cdot 8+4\cdot (-6)=24-24}
Τα διανύσματα
a
=
(
3
,
1
,
−
2
)
{\displaystyle \mathbf {a} =(3,1,-2)}
b
=
(
4
,
−
6
,
3
)
{\displaystyle \mathbf {b} =(4,-6,3)}
a
⋅
b
=
3
⋅
4
+
1
⋅
(
−
6
)
+
(
−
2
)
⋅
3
=
12
−
6
−
6
=
0
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =3\cdot 4+1\cdot (-6)+(-2)\cdot 3=12-6-6=0}
Τα διανύσματα
a
=
(
3
,
1
,
−
2
)
{\displaystyle \mathbf {a} =(3,1,-2)}
b
=
(
4
,
−
8
,
3
)
{\displaystyle \mathbf {b} =(4,-8,3)}
δεν είναι κάθετα καθώς
a
⋅
b
=
3
⋅
4
+
1
⋅
(
−
6
)
+
(
−
2
)
⋅
3
=
12
−
8
−
6
=
−
2
≠
0
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =3\cdot 4+1\cdot (-6)+(-2)\cdot 3=12-8-6=-2\neq 0}
