Επέκταση Γκαλουά

Στα μαθηματικά, μια επέκταση Γκαλουά είναι μια επέκταση αλγεβρικού σώματος E/F που είναι κανονική και διαχωρίσιμη ή ισοδύναμα, το E/F είναι αλγεβρικό και το σώμα που καθορίζεται από την ομάδα αυτομορφισμού Aut(E/F) είναι ακριβώς το βασικό σώμα F. Η σημασία του να είναι μια επέκταση Γκαλουά είναι ότι η επέκταση έχει μια ομάδα Γκαλουά και υπακούει στο θεμελιώδες θεώρημα της θεωρίας Γκαλουά

Ένα αποτέλεσμα του Εμίλ Αρτίν επιτρέπει την κατασκευή επεκτάσεων Γκαλουά ως εξής: Αν E είναι ένα δεδομένο σώμα και G είναι μια πεπερασμένη ομάδα αυτομορφισμών του E με σταθερό σώμα F, τότε το E/F είναι μια επέκταση Γκαλουά

Η ιδιότητα μιας επέκτασης να είναι Γκαλουά συμπεριφέρεται καλά σε σχέση με τη σύνθεση και την τομή του σώματος.

Χαρακτηρισμός των επεκτάσεων Γκαλουά

Ένα σημαντικό θεώρημα του Εμίλ Αρτίν δηλώνει ότι για μια πεπερασμένη επέκταση $E/F,$ κάθε μία από τις ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμη με την πρόταση ότι η $E/F$ είναι Γκαλουά:

• $E/F$ είναι μια κανονική επέκταση και μια διαχωρίσιμη επέκταση.
• $E$ είναι σώμα διασπάσεως ενός διαχωρίσιμου πολυωνύμου με συντελεστές στο $F.$
• $|\!\operatorname {Aut} (E/F)|=[E:F],$ δηλαδή ο αριθμός των αυτομορφισμών ισούται με τον βαθμό της επέκτασης.

Άλλες ισοδύναμες δηλώσεις είναι:

• Κάθε μη αναγώγιμο πολυώνυμο στο $F[x]$ με τουλάχιστον μία ρίζα στο $E$ χωρίζεται πάνω στο $E$ και είναι διαχωρίσιμο.
• $|\!\!\operatorname {Aut} (E/F)|\geq [E:F],$ δηλαδή, ο αριθμός των αυτομορφισμών είναι τουλάχιστον ο βαθμός της επέκτασης.
• $F$ είναι το σταθερό σώμα μιας υποομάδας της $\operatorname {Aut} (E).$
• $F$ είναι το σταθερό σώμα της $\operatorname {Aut} (E/F).$
• Υπάρχει μια αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ των υποσωμάτων του$E/F$ και των υποομάδων του $\operatorname {Aut} (E/F).$

Μια άπειρη επέκταση σώματος $E/F$ είναι Γκαλουά αν και μόνο αν $E$ είναι η ένωση πεπερασμένων υποεπεκτάσεων Γκαλουά $E_{i}/F$ που δεικτοδοτούνται από ένα (άπειρο) σύνολο δεικτών $I$, δηλ. $E=\bigcup _{i\in I}E_{i}$ και η ομάδα Γκαλουά είναι ένα αντίστροφο όριο $\operatorname {Aut} (E/F)=\varprojlim _{i\in I}{\operatorname {Aut} (E_{i}/F)}$ όπου το αντίστροφο σύστημα διατάσσεται από την ένταξη του σώματος $E_{i}\subset E_{j}$.

Παραδείγματα

Υπάρχουν δύο βασικοί τρόποι για την κατασκευή παραδειγμάτων επεκτάσεων Γκαλουά.

• Ας πάρουμε οποιοδήποτε σώμα $E$, οποιαδήποτε πεπερασμένη υποομάδα του $\operatorname {Aut} (E)$, και έστω $F$ το σταθερό σώμα.
• Ας πάρουμε οποιοδήποτε σώμα $F$, οποιοδήποτε διαχωρίσιμο πολυώνυμο στο $F[x]$, και έστω $E$ το διαχωριστικό του σώμα.

Η πρόσθεση στο σώμα ρητών αριθμών της τετραγωνικής ρίζας του 2 δίνει μια επέκταση Γκαλουά, ενώ η πρόσθεση της κυβικής ρίζας του 2 δίνει μια μη Γκαλουά επέκταση. Και οι δύο αυτές επεκτάσεις είναι διαχωρίσιμες, επειδή έχουν χαρακτηριστικό μηδέν. Η πρώτη από αυτές είναι το σώμα διασπάσεως του $x^{2}-2$- η δεύτερη έχει κανονική κλειστότητα που περιλαμβάνει τις μιγαδικές κυβικές ρίζες της μονάδας και έτσι δεν είναι σώμα διασπάσεως. Στην πραγματικότητα, δεν έχει κανέναν αυτομορφισμό εκτός από την ταυτότητα, επειδή περιέχεται στους πραγματικούς αριθμούς και το $x^{3}-2$ έχει μόνο μία πραγματική ρίζα. Για πιο λεπτομερή παραδείγματα, δείτε τη σελίδα για το θεμελιώδες θεώρημα της θεωρίας Γκαλουά.

Μία αλγεβρική κλειστότητα ${\bar {K}}$ ενός αυθαίρετου σώματος $K$ είναι Γκαλουά πάνω στο $K$ αν και μόνο αν το $K$ είναι τέλειο σώμα.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου.
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Μορφοκλασματική διάσταση
• Διδιάστατος χώρος
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Υπερβολική γεωμετρία
• Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Υπολογιστική ρευστοδυναμική
• Καμπυλότητα Γκάους
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Σώμα διασπάσεως
• Συνήθης διαφορική εξίσωση
• Γραμμική απεικόνιση

Βιβλιογραφία

• Lang, Serge (21 Ιουνίου 2005). Algebra. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-95385-4. 
• Lawrence, John W.· Zorzitto, Frank A. (15 Απριλίου 2021). An Introduction to Abstract Algebra: A Comprehensive Introduction. Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-83665-4. 
• Grillet, Pierre Antoine (21 Ιουλίου 2007). Abstract Algebra. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-71568-1. 
• Chamizo, Fernando· Guàrdia, Jordi (28 Σεπτεμβρίου 2015). Trends in Number Theory. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-9858-1. 
• Facchini, Alberto· Houston, Evan (10 Φεβρουαρίου 2020). Rings, Modules, Algebras, and Abelian Groups. CRC Press. ISBN 978-0-8247-5081-7. 
• Magid, Andy R. (10 Σεπτεμβρίου 2020). Rings, Extensions, and Cohomology. CRC Press. ISBN 978-1-000-11681-6. 
• Johnson, Norman L. (6 Ιουνίου 2023). Geometry of Derivation with Applications. CRC Press. ISBN 978-1-000-88381-7. 
• Clark, Allan (6 Ιουλίου 2012). Elements of Abstract Algebra. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-14035-3. 
• Aluffi, Paolo (9 Νοεμβρίου 2021). Algebra: Chapter 0. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-6571-1. 
• Underwood, Robert G. (28 Αυγούστου 2011). An Introduction to Hopf Algebras. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-72766-0. 

Παραπομπές

• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556

• Artin, Emil (1998) [1944]. Galois Theory. Edited and with a supplemental chapter by Arthur N. Milgram. Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 0-486-62342-4. MR 1616156. 
• Bewersdorff, Jörg (2006). Galois theory for beginners. Student Mathematical Library. 35. Translated from the second German (2004) edition by David Kramer. American Mathematical Society. doi:10.1090/stml/035. ISBN 0-8218-3817-2. MR 2251389. 
• Edwards, Harold M. (1984). Galois Theory. Graduate Texts in Mathematics. 101. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90980-X. MR 0743418.  (Galois' original paper, with extensive background and commentary.)
• Funkhouser, H. Gray (1930). «A short account of the history of symmetric functions of roots of equations». American Mathematical Monthly (The American Mathematical Monthly, Vol. 37, No. 7) 37 (7): 357–365. doi:10.2307/2299273. 
• Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Galois theory», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/g043160 
• Jacobson, Nathan (1985). Basic Algebra I (2nd έκδοση). W.H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-1480-9.  (Chapter 4 gives an introduction to the field-theoretic approach to Galois theory.)
• Janelidze, G.· Borceux, Francis (2001). Galois theories. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-80309-0.  (This book introduces the reader to the Galois theory of Grothendieck, and some generalisations, leading to Galois groupoids.)
• Lang, Serge (1994). Algebraic Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. 110 (Second έκδοση). Berlin, New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0853-2. ISBN 978-0-387-94225-4. MR 1282723. 
• Postnikov, Mikhail Mikhaĭlovich (2004). Foundations of Galois Theory. With a foreword by P. J. Hilton. Reprint of the 1962 edition. Translated from the 1960 Russian original by Ann Swinfen. Dover Publications. ISBN 0-486-43518-0. MR 2043554. 
• Milne, James S. (2022). Fields and Galois Theory (v5.10). 
• Rotman, Joseph (1998). Galois Theory. Universitext (Second έκδοση). Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0617-0. ISBN 0-387-98541-7. MR 1645586. 
• Völklein, Helmut (1996). Groups as Galois groups: an introduction. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 53. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511471117. ISBN 978-0-521-56280-5. MR 1405612. 
• van der Waerden, Bartel Leendert (1931). Moderne Algebra (στα German). Berlin: Springer. . English translation (of 2nd revised edition): Modern algebra. New York: Frederick Ungar. 1949.  (Later republished in English by Springer under the title "Algebra".)
• Pop, Florian (2001). «(Some) New Trends in Galois Theory and Arithmetic» (PDF). 

Πηγές

• Martin, George E. (1998). Geometric Constructions. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98276-0. Zbl 0890.51015. 
• Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022. 
• Efrat, Ido (2006), Valuations, orderings, and Milnor K-theory, Mathematical Surveys and Monographs, 124, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4041-X,  
• Elman, Richard; Lam, T. Y. (1972), «Quadratic forms over formally real fields and pythagorean fields», American Journal of Mathematics 94 (4): 1155–1194, doi:10.2307/2373568, ISSN 0002-9327 
• Greenberg, Marvin J. (2010), «Old and new results in the foundations of elementary plane Euclidean and non-Euclidean geometries», Am. Math. Mon. 117 (3): 198–219, doi:10.4169/000298910x480063, ISSN 0002-9890,  
• Iyanaga, Shôkichi; Kawada, Yukiyosi, επιμ.. (1980), Encyclopedic dictionary of mathematics, Volumes I, II, Translated from the 2nd Japanese edition, paperback version of the 1977 edition (1st έκδοση), MIT Press, ISBN 978-0-262-59010-5, https://archive.org/details/encyclopedicdict0000niho 
• Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1, , https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt 
• Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
• Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
• Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.