Διανυσματική μηχανική

Διανυσματική μηχανική

Συγγραφέας	Έντουαρντ Άρθουρ Μιλν
Γλώσσα	αγγλικά
Μορφή	Μαθηματικά
Θέμα	Διανυσματικό χειρισμό
δεδομένα ()

Το Διανυσματική μηχανική (αγγλικά:Vectorial Mechanics)(1948) είναι ένα βιβλίο σχετικά με τον διανυσματικό χειρισμό (δηλαδή τις διανυσματικές μεθόδους) που γράφτηκε από τον Έντουαρντ Άρθουρ Μιλν, έναν εξαιρετικά διακεκριμένο Βρετανό αστροφυσικό και μαθηματικό (π.χ. διάλεξη για το βραβείο Τζέιμς Σκοτ). Ο Μιλν αναφέρει ότι το κείμενο είναι αποτέλεσμα συνομιλιών (γύρω στο 1924) με τον τότε συνάδελφό του και πρώην καθηγητή του Σίντνεϊ Τσάπμαν, ο οποίος έβλεπε τα διανύσματα όχι μόνο ως ένα ωραίο παιχνίδι, αλλά και ως ένα ισχυρό όπλο για τα εφαρμοσμένα μαθηματικά. Ο Μιλν αναφέρει ότι στην αρχή δεν πίστεψε τον Τσάπμαν, εμμένοντας στην ιδέα ότι «τα διανύσματα ήταν σαν ένας κανόνας τσέπης, ο οποίος πρέπει να ξεδιπλωθεί προτού μπορέσει να εφαρμοστεί και να χρησιμοποιηθεί». Με την πάροδο του χρόνου, ωστόσο, ο Μιλν πείστηκε ότι ο Τσάπμαν είχε δίκιο.

Περίληψη

Η διανυσματική μηχανική αποτελείται από 18 κεφάλαια που ομαδοποιούνται σε 3 μέρη. Το Μέρος Ι αφορά τη διανυσματική άλγεβρα και περιλαμβάνει κεφάλαια σχετικά με τον ορισμό του διανύσματος, τα γινόμενα διανυσμάτων, τη στοιχειώδη ανάλυση τανυστών και τα ολοκληρωτικά θεωρήματα. Το Μέρος ΙΙ αφορά τα συστήματα γραμμικών διανυσμάτων και περιλαμβάνει κεφάλαια για τις γραμμικές συντεταγμένες, τα συστήματα γραμμικών διανυσμάτων, τη στατική μηχανικών σωμάτων, τη μετατόπιση ενός μηχανικού σώματος και το έργο ενός συστήματος γραμμικών διανυσμάτων. Το μέρος ΙΙΙ αφορά τη δυναμική, συμπεριλαμβανομένης της κινηματικής, της δυναμικής σωματιδίων, των τύπων κίνησης σωματιδίων, της δυναμικής συστημάτων σωματιδίων, των μηχανικών σωμάτων σε κίνηση, της δυναμικής των μηχανικών σωμάτων, της κίνησης ενός μηχανικού σώματος γύρω από το κέντρο μάζας του, των γυροστατικών προβλημάτων και της παλμικής κίνησης.

Σύνοψη των αναθεωρήσεων

Υπήρχαν σημαντικές αναθεωρήσεις που δημοσιεύτηκαν κατά τη διάρκεια της αρχικής δημοσίευσης.

Τζέραλντ Τζέιμς Γουίτροου

Παρόλο που τα τελευταία χρόνια εκδόθηκαν πολλά βιβλία στα οποία οι διανυσματικές και τανυστικές μέθοδοι χρησιμοποιούνται για την επίλυση προβλημάτων γεωμετρίας και μαθηματικής φυσικής, δεν υπήρχαν πρώτης τάξεως πραγματείες που να εξηγούν τις μεθόδους με πλήρη λεπτομέρεια και να είναι ωστόσο κατάλληλες για τον προπτυχιακό φοιτητή. Στα εφαρμοσμένα μαθηματικά δεν έχει εμφανιστεί μέχρι σήμερα κανένα βιβλίο που να μπορεί να συγκριθεί με το βιβλίο Pure Mathematics του G.H. Hardy (Γκόντφρεϊ Χάρολντ Χάρντι). ... Όπως ακριβώς και στο κλασικό βιβλίο του Χάρντι, από την αρχή προστίθεται μια νέα νότα: δίνεται ένας ακριβής ορισμός της έννοιας «ελεύθερο διάνυσμα», ανάλογος με τον ορισμό του «καρδιακού αριθμού» των Φρέγκε-Ράσελ. Σύμφωνα με τον Μιλν, ένα ελεύθερο διάνυσμα είναι η κλάση όλων των αναπαραστάσεών του, ενώ μια τυπική αναπαράσταση ορίζεται με τον συνήθη τρόπο. Από παιδαγωγική άποψη, ωστόσο, ο κριτής αναρωτιέται αν θα ήταν ίσως καλύτερο να επιστήσει την προσοχή σε αυτό το πρώιμο στάδιο σε μια συγκεκριμένη περίπτωση ενός ελεύθερου διανύσματος. Ο φοιτητής που είναι εξοικειωμένος με φυσικές έννοιες που έχουν μέγεθος και θέση, αλλά όχι κατεύθυνση, θα πρέπει να συνειδητοποιήσει από την αρχή ότι το ελεύθερο διάνυσμα δεν είναι απλώς «θεμελιώδες στη συζήτηση συστημάτων διανυσμάτων θέσης και συστημάτων διανυσμάτων ευθείας», αλλά εμφανίζεται φυσικά από μόνο του, όπως υπάρχουν φυσικές έννοιες που έχουν μέγεθος και κατεύθυνση αλλά όχι θέση, π.χ. το ζεύγος στη στατική και η γωνιακή ταχύτητα μηχανικού σώματος. Αν και τα απαραίτητα θεωρήματα ύπαρξης πρέπει να θεμελιωθούν σε μεταγενέστερο στάδιο, και οι αυστηρές αποδείξεις του Μιλν είναι ιδιαίτερα ευπρόσδεκτες, δεν υπάρχει λόγος να μην αναφερθούν στο σημείο αυτό ορισμένες περιπτώσεις ελεύθερων διανυσμάτων".

Ντάνιελ Κ. Λιούις:

Ο αναθεωρητής αισθάνεται εδώ και καιρό ότι ο ρόλος της διανυσματικής ανάλυσης στη μηχανική έχει υπερτονιστεί πολύ. Είναι αλήθεια ότι οι θεμελιώδεις εξισώσεις της κίνησης στις διάφορες μορφές τους, ειδικά στην περίπτωση των μηχανικών σωμάτων, μπορούν να προκύψουν με τη μεγαλύτερη οικονομία σκέψης με τη χρήση διανυσμάτων (υποθέτοντας ότι η απαιτούμενη τεχνική έχει ήδη αναπτυχθεί)- αλλά μόλις οι εξισώσεις έχουν τεθεί, η συνήθης διαδικασία είναι να εγκαταλείπονται οι διανυσματικές μέθοδοι στην επίλυσή τους. Αν αυτή η θέση μπορεί να αντικρουστεί με επιτυχία, αυτό έχει γίνει στην παρούσα εργασία, το πιο νέο χαρακτηριστικό της οποίας είναι η επίλυση των διανυσματικών διαφορικών εξισώσεων με διανυσματικές μεθόδους χωρίς ποτέ να καταγραφούν οι αντίστοιχες βαθμωτές διαφορικές εξισώσεις που προκύπτουν με τη λήψη συνιστωσών. Ο συγγραφέας πέτυχε βεβαίως να δείξει ότι αυτό μπορεί να γίνει σε αρκετά απλές, αν και μη τετριμμένες, περιπτώσεις. Για να δώσουμε ένα παράδειγμα ενός σίγουρα μη τετριμμένου προβλήματος που επιλύεται με αυτόν τον τρόπο, θα μπορούσαμε να αναφέρουμε το μη ολόνομο πρόβλημα που προσφέρει η κίνηση μιας σφαίρας που κυλάει σε ένα τραχύ κεκλιμένο επίπεδο ή σε μια τραχιά σφαιρική επιφάνεια. Οι μέθοδοι του συγγραφέα είναι ενδιαφέρουσες και αισθητικά ικανοποιητικές και επομένως αξίζουν την ευρύτερη δυνατή δημοσίευση, ακόμη και αν έχουν τον χαρακτήρα ενός tour de force.

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Μορφοκλασματική διάσταση
• Διδιάστατος χώρος
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Υπερβολική γεωμετρία
• Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Υπολογιστική ρευστοδυναμική
• Καμπυλότητα Γκάους
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Διάσταση Κρουλ
• Συνήθης διαφορική εξίσωση
• Γραμμική απεικόνιση

Βιβλιογραφία

• Haug, E. J. (29 Ιουνίου 2013). Computer Aided Analysis and Optimization of Mechanical System Dynamics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-52465-3. 
• Singh, Jagjit (1 Ιανουαρίου 1959). Great Ideas of Modern Mathematics, Their Nature and Use. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-20587-8. 
• Caneva, Kenneth L. (3 Αυγούστου 2021). Helmholtz and the Conservation of Energy: Contexts of Creation and Reception. MIT Press. ISBN 978-0-262-36384-6. 
• Findeisen, Dietmar (9 Μαρτίου 2013). System Dynamics and Mechanical Vibrations: An Introduction. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-04205-2. 
• Rhoads, Bruce L. (29 Απριλίου 2020). River Dynamics: Geomorphology to Support Management. Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-17378-0. 
• Browne, John (25 Οκτωβρίου 2012). Grassmann Algebra Volume 1: Foundations: Exploring extended vector algebra with Mathematica. John M Browne. ISBN 978-1-4791-9763-7. 
• Jr, James H. Williams (17 Δεκεμβρίου 2019). Fundamentals of Applied Dynamics. MIT Press. ISBN 978-0-262-03971-0. 
• Gallardo-Alvarado, Jaime· Gallardo-Razo, José (18 Ιουνίου 2022). Mechanisms: Kinematic Analysis and Applications in Robotics. Academic Press. ISBN 978-0-323-95347-4. 
• Zhang, Ce· Yang, Jianming (24 Νοεμβρίου 2021). Machinery Dynamics. Academic Press. ISBN 978-0-12-815786-2. 
• Carlos, Guedes Soares (12 Οκτωβρίου 2020). Developments in Renewable Energies Offshore: Proceedings of the 4th International Conference on Renewable Energies Offshore (RENEW 2020, 12 - 15 October 2020, Lisbon, Portugal). CRC Press. ISBN 978-1-000-31873-9. 

Παραπομπές

• L.D. Landau, E.M. Lifshitz (1975). The Classical Theory of Fields. 2 (4th έκδοση). Butterworth–Heineman. ISBN 978-0-7506-2768-9. 
• J. D. Jackson (1998). Classical Electrodynamics (3rd έκδοση). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-30932-1. 
• Boothby, William (1986). An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry. Pure and Applied Mathematics, volume 120 (second έκδοση). Orlando, FL: Academic Press. ISBN 0-12-116053-X. 
• Watson, G. N. (1966). A Treatise on the Theory of Bessel Functions, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press. MR 1349110. 
• Fewell, M. P. (2006). «Area of common overlap of three circles». Defence Science and Technology Organisation. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 3 Μαρτίου 2022. 
• White, Joseph F. (1 Αυγούστου 2016). High Frequency Techniques: An Introduction to RF and Microwave Design and Computer Simulation. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-119-24450-9. 
• Slater, John C.· Frank, Nathaniel H. (9 Μαρτίου 2012). Electromagnetism. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-15040-6. 
• Barrera, Tony; Hast, Anders; Bengtsson, Ewert, «Surface Construction with Near Least Square Acceleration based on Vertex Normals on Triangular Meshes», στο: Ollila, Mark, επιμ., SIGRAD 2002, σελ. 43–48, https://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:968852/FULLTEXT01.pdf#page=49 
• Martin, Ralph R. (6 Αυγούστου 2009). Mathematics of Surfaces XIII: 13th IMA International Conference York, UK, September 7-9, 2009 Proceedings. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-03595-1. 
• Iskovskikh, V.A. (2001), «Ruled surface», στο: Hazewinkel, Michiel, επιμ., Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=R/r082790 
• Sharp, John (2008), D-Forms: surprising new 3-D forms from flat curved shapes, Tarquin, ISBN 978-1-899618-87-3 . Review: Séquin, Carlo H. (2009), Journal of Mathematics and the Arts 3: 229–230,
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Section 6.3. Exponential Integrals», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd έκδοση), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=266, ανακτήθηκε στις 2011-08-09 
• Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.