Γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα

Σε έναν διανυσματικό χώρο, τα διανύσματα $\mathbf {v} _{1},\ldots \mathbf {v} _{n}$ λέγονται γραμμικά ανεξάρτητα αν υπάρχουν $\lambda _{,}\ldots ,\lambda _{k}$ που δεν είναι όλα μηδέν τέτοια ώστε

$\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\ldots \lambda _{n}\mathbf {v} _{n}=0$.

Όταν δεν είναι γραμμικά ανεξάρτητα, τότε τα διανύματα λέγονται γραμμικά εξαρτημένα. Σε αυτή την περίπτωση έπεται ότι ένα εκ των διανυσμάτων μπορεί να γραφτεί ως γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων.

Παραδείγματα

• Τα διανύσματα $\mathbf {a} =(1,0)$, $\mathbf {b} =(0,1)$ και $\mathbf {c} =(3,4)$ είναι γραμμικά εξαρτημένα, καθώς

$\mathbf {c} =3\cdot \mathbf {a} +4\cdot \mathbf {b}$,

δηλαδή $3\cdot \mathbf {a} +4\cdot \mathbf {b} -\mathbf {c} =0$, δηλαδή υπάρχουν $\lambda _{1}=3,\lambda _{2}=4,\lambda _{3}=-1$.

• Τα διανύσματα $\mathbf {a} =(1,0,2,1)$, $\mathbf {b} =(0,1,0,1)$ και $\mathbf {c} =(1,3,2,4)$ είναι γραμμικά εξαρτημένα, καθώς

$2\mathbf {c} =2\cdot \mathbf {a} +6\cdot \mathbf {b}$,

δηλαδή υπάρχουν $\lambda _{1}=2,\lambda _{2}=6,\lambda _{3}=-2$.

• Τα διανύσματα $\mathbf {a} =(0,0,1)$, $\mathbf {b} =(0,1,0)$ και $\mathbf {c} =(0,0,1)$ είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
• Δύο διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα αν και μόνο αν δεν είναι παράλληλα.

Ιδιότητες

• Κάθε υποσύνολο γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων είναι επίσης γραμμικά ανεξάρτητο.

Απόδειξη  

Έστω ένα σύνολο $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}$ γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων. Έστω ότι υπήρχε ένα υποσύνολο του, τα διανύσματα $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}$ που είναι γραμμικά εξαρτημένο. Τότε, σημαίνει ότι υπάρχουν $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}$ τέτοια ώστε

$\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\ldots +\lambda _{k}\mathbf {v} _{k}=0$

και κάποιο από τα $\lambda _{i}$ είναι μη-μηδενικό. Επομένως, θέτοντας $\lambda _{k+1}=\lambda _{k+2}=\ldots =\lambda _{n}=0$ λαμβάνουμε ότι

$\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\ldots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}=0$,

Επειδή, $\lambda _{i}\neq 0$ έχουμε ότι τα διανύσματα $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}$ είναι γραμμικά εξαρτημένα (άτοπο).

• Κάθε υπερσύνολο γραμμικά εξαρτημένων διανυσμάτων είναι επίσης γραμμικά εξαρτημένο.

Απόδειξη  

Προκύπτει από την προηγούμενη ιδιότητα, καθώς αν ένα υπερσύνολο ήταν γραμμικά ανεξάρτητο, τότε θα έπρεπε και το αρχικό σύνολο να είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

Έλεγχος

Μπορούμε να ελέγξουμε αν τα διανύσματα $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}$ είναι γραμμικά ανεξάρτητα ελέγχοντας αν το εξής σύστημα γραμμικών εξισώσεων έχει μη-μηδενική λύση

${\begin{bmatrix}\vert &\vert &&\vert \\\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\\\vert &\vert &&\vert \end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\vdots \\\lambda _{n}\end{bmatrix}}=\mathbf {0} .$

Αυτό μπορεί να γίνει για παράδειγμα με την χρήση της Γκαουσιανής απαλοιφής.

Δείτε επίσης

• Γραμμικός συνδυασμός