Αλγεβρική κλειστότητα

Στα μαθηματικά, ιδιαίτερα στην αφηρημένη άλγεβρα, μια αλγεβρική κλειστότητα ενός σώματος Κ είναι μια αλγεβρική επέκταση του Κ που είναι αλγεβρικά κλειστή. Είναι μία από τις πολλές κλειστότητες στα μαθηματικά.

Χρησιμοποιώντας το Λήμμα του Τσορν ή το ασθενέστερο λήμμα υπερφίλτρου, μπορεί να αποδειχθεί ότι κάθε σώμα έχει μια αλγεβρική κλειστότητα και ότι η αλγεβρική κλειστότητα ενός σώματος Κ είναι μοναδική μέχρι έναν ισομορφισμό που καθορίζει κάθε μέλος του Κ. Λόγω αυτής της ουσιαστικής μοναδικότητας, συχνά μιλάμε για την αλγεβρική κλειστότητα του Κ και όχι για αλγεβρική κλειστότητα του Κ.

Η αλγεβρική κλειστότητα ενός σώματος K μπορεί να θεωρηθεί ως η μεγαλύτερη αλγεβρική επέκταση του K. Για να το δούμε αυτό, σημειώστε ότι αν το L είναι οποιαδήποτε αλγεβρική επέκταση του K, τότε η αλγεβρική κλειστότητα του L είναι επίσης μια αλγεβρική κλειστότητα του K, και έτσι το L περιέχεται στην αλγεβρική κλειστότητα του K. Η αλγεβρική κλειστότητα του Κ είναι επίσης το μικρότερο αλγεβρικά κλειστό σώμα που περιέχει το Κ, διότι αν το Μ είναι οποιοδήποτε αλγεβρικά κλειστό σώμα που περιέχει το Κ, τότε τα στοιχεία του Μ που είναι αλγεβρικά πάνω στο Κ σχηματίζουν μια αλγεβρική κλειστότητα του Κ.

Η αλγεβρική κλειστότητα ενός σώματος Κ έχει την ίδια πληθικότητα με το Κ αν το Κ είναι άπειρο, και είναι μετρήσιμα άπειρο αν το Κ είναι πεπερασμένο.

Παραδείγματα

• Το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας δηλώνει ότι η αλγεβρική κλειστότητα του σώματος των πραγματικών αριθμών είναι το σώμα των μιγαδικών αριθμών.
• Η αλγεβρική κλειστότητα του σώματος των ρητών αριθμών είναι το σώμα των αλγεβρικών αριθμών.
• Υπάρχουν πολλές μετρήσιμες αλγεβρικές κλειστότητες εντός των μιγαδικών αριθμών, οι οποίες περιέχουν αυστηρά το σώμα των αλγεβρικών αριθμών- αυτές είναι οι αλγεβρικές κλειστότητες των υπερβατικών επεκτάσεων των ρητών αριθμών, π.χ. η αλγεβρική κλειστότητα του Q(π).
• Για ένα πεπερασμένο σώμα πρώτης δύναμης τάξεως q, η αλγεβρική κλειστότητα είναι ένα μετρήσιμο άπειρο σώμα που περιέχει ένα αντίγραφο του σώματος τάξεως qⁿ για κάθε θετικό ακέραιο n (και είναι στην πραγματικότητα η ένωση αυτών των αντιγράφων).

Ύπαρξη αλγεβρικής κλειστότητας και σώματα διασπάσεως

Έστω $S=\{f_{\lambda }|\lambda \in \Lambda \}$ το σύνολο όλων των μονικών μη αναγώγιμων πολυωνύμων στο K[x]. Για κάθε $f_{\lambda }\in S$, εισάγετε νέες μεταβλητές $u_{\lambda ,1},\ldots ,u_{\lambda ,d}$ όπου $d={\rm {degree}}(f_{\lambda })$. Έστω R ο πολυωνυμικός δακτύλιος πάνω από K που παράγεται από $u_{\lambda ,i}$ για όλα τα $\lambda \in \Lambda$ και όλα τα $i\leq {\rm {degree}}(f_{\lambda })$. Write

$f_{\lambda }-\prod _{i=1}^{d}(x-u_{\lambda ,i})=\sum _{j=0}^{d-1}r_{\lambda ,j}\cdot x^{j}\in R[x]$

με $r_{\lambda ,j}\in R$. Έστω I το ιδεώδες στο R που παράγεται από το $r_{\lambda ,j}$. Δεδομένου ότι το I είναι αυστηρά μικρότερο από το R,

Το λήμμα του Τσορν συνεπάγεται ότι υπάρχει ένα μέγιστο ιδεώδες M στο R που περιέχει το I. Το σώμα K₁=R/M έχει την ιδιότητα ότι κάθε πολυώνυμο $f_{\lambda }$ με συντελεστές στο K διασπάται ως το γινόμενο $x-(u_{\lambda ,i}+M),$και συνεπώς έχει όλες τις ρίζες στο K₁. Με τον ίδιο τρόπο μπορεί να κατασκευαστεί μια επέκταση K₂ του K₁ κ.λπ. Η ένωση όλων αυτών των επεκτάσεων είναι η αλγεβρική κλειστότητα του K, επειδή κάθε πολυώνυμο με συντελεστές σε αυτό το νέο σώμα έχει τους συντελεστές του σε κάποιο K_n με αρκετά μεγάλο n, και τότε οι ρίζες του βρίσκονται στο K_n+1, και επομένως στην ίδια την ένωση.

Διαχωρίσιμη κλειστότητα

Μια αλγεβρική κλειστότητα K^alg του K περιέχει μια μοναδική διαχωρίσιμη επέκταση K^sep του K που περιέχει όλες τις (αλγεβρικές) διαχωρίσιμες επεκτάσεις του K μέσα στο K^alg. Αυτή η υποεπέκταση ονομάζεται διαχωρίσιμη κλειστότητα του K. Επειδή μια διαχωρίσιμη επέκταση μιας διαχωρίσιμης επέκτασης είναι πάλι διαχωρίσιμη, δεν υπάρχουν πεπερασμένες διαχωρίσιμες επεκτάσεις του K^sep, βαθμού > 1. Για να το πούμε αλλιώς, το K περιέχεται σε μία διαχωρίσιμη-κλειστή αλγεβρική επέκταση σώματος. Είναι μοναδικό (μέχρι τον ισομορφισμό)..

Η διαχωρίσιμη κλειστότητα είναι η πλήρης αλγεβρική κλειστότητα αν και μόνο αν το K είναι τέλειο σώμα. Παραδείγματος χάριν, αν το K είναι ένα σώμα χαρακτηριστικού p και αν το X είναι υπερβατικό πάνω στο K, $K(X)({\sqrt[{p}]{X}})\supset K(X)$ είναι μια μη διαχωρίσιμη επέκταση αλγεβρικού σώματος.

Γενικά, η απόλυτη ομάδα Γκαλουά του Κ είναι η ομάδα Γκαλουά του K^sep πάνω από το K.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου.
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Μορφοκλασματική διάσταση
• Ομοπαραλληλική γεωμετρία
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Υπερβολική γεωμετρία
• Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Υπολογιστική ρευστοδυναμική
• Καμπυλότητα Γκάους
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Σώμα διασπάσεως
• Συνήθης διαφορική εξίσωση
• Γραμμική απεικόνιση
• Νοεροί υπολογισμοί

Βιβλιογραφία

• Garrett, Paul B. (25 Σεπτεμβρίου 2007). Abstract Algebra. CRC Press. ISBN 978-1-58488-689-1. 
• Hungerford, Thomas W. (6 Δεκεμβρίου 2012). Algebra. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-6101-8. 
• Levin, Alexander (19 Απριλίου 2008). Difference Algebra. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4020-6947-5. 
• Rosenberger, Gerhard· Schürenberg, Annika (22 Ιουλίου 2024). Abstract Algebra: With Applications to Galois Theory, Algebraic Geometry, Representation Theory and Cryptography. Walter de Gruyter GmbH & Co KG. ISBN 978-3-11-114252-4. 
• Carstensen-Opitz, Celine· Fine, Benjamin (2 Σεπτεμβρίου 2019). Abstract Algebra: Applications to Galois Theory, Algebraic Geometry, Representation Theory and Cryptography. Walter de Gruyter GmbH & Co KG. ISBN 978-3-11-060399-6. 
• Carstensen, Celine· Fine, Benjamin (2011). Abstract Algebra: Applications to Galois Theory, Algebraic Geometry, and Cryptography. Walter de Gruyter. ISBN 978-3-11-025008-4. 
• Fine, Benjamin· Rosenberger, Gerhard (6 Δεκεμβρίου 2012). The Fundamental Theorem of Algebra. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-1928-6. 
• Grillet, Pierre Antoine (21 Ιουλίου 2007). Abstract Algebra. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-71568-1. 
• Nambeesan, Sachin (20 Φεβρουαρίου 2025). Essentials of Abstract Algebra. Educohack Press. ISBN 978-93-6152-944-3. 
• Garling, D. J. H. (1986). A Course in Galois Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-31249-3. 

Παραπομπές

• Şaban Alaca, Kenneth S. Williams, Introductory algebraic number theory, Cambridge University Press, 2004.
• Belabas, Karim (1997), «A fast algorithm to compute cubic fields», Mathematics of Computation 66 (219): 1213–1237, doi:10.1090/s0025-5718-97-00846-6 
• Bhargava, Manjul; Shankar, Arul; Tsimerman, Jacob (2013), «On the Davenport–Heilbronn theorem and second order terms», Inventiones Mathematicae 193 (2): 439–499, doi:10.1007/s00222-012-0433-0 
• Cohen, Henri (1993), A Course in Computational Algebraic Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, 138, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-55640-4 
• Cohn, Harvey (1954), «The density of abelian cubic fields», Proceedings of the American Mathematical Society 5 (3): 476–477, doi:10.2307/2031963 
• Davenport, Harold; Heilbronn, Hans (1971), «On the density of discriminants of cubic fields. II», Proceedings of the Royal Society A 322 (1551): 405–420, doi:10.1098/rspa.1971.0075 
• Hasse, Helmut (1930), «Arithmetische Theorie der kubischen Zahlkörper auf klassenkörpertheoretischer Grundlage», Mathematische Zeitschrift 31 (1): 565–582, doi:10.1007/BF01246435 
• Roberts, David P. (2001), «Density of cubic field discriminants», Mathematics of Computation 70 (236): 1699–1705, doi:10.1090/s0025-5718-00-01291-6 
• Taniguchi, Takashi; Thorne, Frank (2013), «Secondary terms in counting functions for cubic fields», Duke Mathematical Journal 162 (13): 2451–2508, doi:10.1215/00127094-2371752 

• Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2008), Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323 (Second έκδοση), Berlin: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-540-37889-1, ISBN 978-3-540-37888-4,  
• Rubin, Karl (1991), «The 'main conjectures' of Iwasawa theory for imaginary quadratic fields», Inventiones Mathematicae 103 (1): 25–68, doi:10.1007/BF01239508, ISSN 0020-9910,  
• Skinner, Chris; Urban, Éric (2010), The Iwasawa main conjectures for GL₂, σελ. 219, http://www.math.columbia.edu/%7Eurban/eurp/MC.pdf 
• Washington, Lawrence C. (1997), Introduction to cyclotomic fields, Graduate Texts in Mathematics, 83 (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94762-4, https://books.google.com/books?isbn=0-387-94762-0 
• Wiles, Andrew (1990), «The Iwasawa Conjecture for Totally Real Fields», Annals of Mathematics 131 (3): 493–540, doi:10.2307/1971468,  
• Rotman, Joseph (1998). Galois Theory. Universitext (Second έκδοση). Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0617-0. ISBN 0-387-98541-7. MR 1645586. 
• Völklein, Helmut (1996). Groups as Galois groups: an introduction. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 53. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511471117. ISBN 978-0-521-56280-5. MR 1405612. 
• van der Waerden, Bartel Leendert (1931). Moderne Algebra (στα German). Berlin: Springer. . English translation (of 2nd revised edition): Modern algebra. New York: Frederick Ungar. 1949.  (Later republished in English by Springer under the title "Algebra".)
• Pop, Florian (2001). «(Some) New Trends in Galois Theory and Arithmetic» (PDF). 

Πηγές

• Martin, George E. (1998). Geometric Constructions. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98276-0. Zbl 0890.51015. 
• Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022. 
• Efrat, Ido (2006), Valuations, orderings, and Milnor K-theory, Mathematical Surveys and Monographs, 124, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4041-X,  
• Elman, Richard; Lam, T. Y. (1972), «Quadratic forms over formally real fields and pythagorean fields», American Journal of Mathematics 94 (4): 1155–1194, doi:10.2307/2373568, ISSN 0002-9327 
• Greenberg, Marvin J. (2010), «Old and new results in the foundations of elementary plane Euclidean and non-Euclidean geometries», Am. Math. Mon. 117 (3): 198–219, doi:10.4169/000298910x480063, ISSN 0002-9890,  
• Iyanaga, Shôkichi; Kawada, Yukiyosi, επιμ.. (1980), Encyclopedic dictionary of mathematics, Volumes I, II, Translated from the 2nd Japanese edition, paperback version of the 1977 edition (1st έκδοση), MIT Press, ISBN 978-0-262-59010-5, https://archive.org/details/encyclopedicdict0000niho 
• Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1, , https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt 
• Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
• Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
• Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.