Αλγεβρικά κλειστό σώμα

Στα μαθηματικά, ένα σώμα F είναι αλγεβρικά κλειστό αν κάθε μη σταθερό πολυώνυμο στο F[x] (ο δακτύλιος μονοσήμαντων πολυωνύμων με συντελεστές στο F) έχει ρίζα στο F. Με άλλα λόγια, ένα σώμα είναι αλγεβρικά κλειστό αν το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας ισχύει γι' αυτό.

Κάθε σώμα $K$ περιέχεται σε ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα $C,$ και οι ρίζες στο $C$ των πολυωνύμων με συντελεστές στο $K$ σχηματίζουν ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα που ονομάζεται αλγεβρική κλειστότητα του $K.$ Με δεδομένο δύο αλγεβρικές κλειστότητες του $K$ υπάρχουν ισομορφισμοί μεταξύ τους που καθορίζουν τα στοιχεία του $K.$

Τα αλγεβρικά κλειστά σώματα εμφανίζονται στην ακόλουθη αλυσίδα εγκλεισμών κλάσεων:

ψευδο-δακτύλιοι ⊃ δακτύλιοι ⊃ αντιμεταθετικοί δακτύλιοι ⊃ ακέραια περιοχή ⊃ ολοκληρωτικά κλειστή περιοχή ⊃ περιοχή ΜΚΔ ⊃ περιοχή μοναδικής παραγοντοποίησης ⊃ περιοχή κυρίων ιδεωδών ⊃ ευκλείδεια περιοχή ⊃ σώματα ⊃ αλγεβρικά κλειστό σώμα

Παραδείγματα

Ως παράδειγμα, το σώμα των πραγματικών αριθμών δεν είναι αλγεβρικά κλειστό, επειδή η πολυωνυμική εξίσωση $x^{2}+1=0$ δεν έχει λύση στους πραγματικούς αριθμούς, παρόλο που όλοι οι συντελεστές της (1 και 0) είναι πραγματικοί. Το ίδιο επιχείρημα αποδεικνύει ότι κανένα υποσώμα του πραγματικού σώματος δεν είναι αλγεβρικά κλειστό- ειδικότερα, το σώμα των ρητών αριθμών δεν είναι αλγεβρικά κλειστό. Αντίθετα, το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας δηλώνει ότι το σώμα των μιγαδικών αριθμών είναι αλγεβρικά κλειστό. Ένα άλλο παράδειγμα αλγεβρικά κλειστού σώματος είναι το σώμα των (μιγαδικών) αλγεβρικών αριθμών.> Υπάρχουν ισομορφισμοί μεταξύ τους που καθορίζουν τα στοιχεία του $K.$

Κανένα πεπερασμένο σώμα F δεν είναι αλγεβρικά κλειστό, διότι αν a₁, a₂, ..., a_n είναι τα στοιχεία του F, τότε το πολυώνυμο (x − a₁)(x − a₂) ⋯ (x − a_n) + 1 δεν έχει μηδέν στο F. Ωστόσο, η ένωση όλων των πεπερασμένων σωμάτων μιας σταθερής χαρακτηριστικής p (p πρώτος αριθμός) είναι ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα, το οποίο είναι, στην πραγματικότητα, η αλγεβρική κλειστότητα του σώματος $\mathbb {F} _{p}$ με p στοιχεία.

Το σώμα $\mathbb {C} (x)$ των ρητών συναρτήσεων με μιγαδικούς συντελεστές δεν είναι κλειστό- επί παραδείγματι, το πολυώνυμο $y^{2}-x$ έχει ρίζες $\pm {\sqrt {x}}$, οι οποίες δεν είναι στοιχεία του $\mathbb {C} (x)$.

Ισοδύναμες ιδιότητες

Δεδομένου ενός σώματος F ο ισχυρισμός «το F είναι αλγεβρικά κλειστό» είναι ισοδύναμος με άλλους ισχυρισμούς:

Τα μόνα ανάγωγα πολυώνυμα είναι εκείνα του πρώτου βαθμού

Το σώμα F είναι αλγεβρικά κλειστό αν και μόνο αν τα μόνα ανάγωγα πολυώνυμα στον πολυωνυμικό δακτύλιο F[x] είναι αυτά πρώτου βαθμού.

Ο ισχυρισμός «τα πολυώνυμα πρώτου βαθμού είναι ανάγωγα» είναι τετριμμένα αληθής για οποιοδήποτε σώμα. Αν το F είναι αλγεβρικά κλειστό και το p(x) είναι ένα ανάγωγο πολυώνυμο του F[x], τότε έχει κάποια ρίζα a και επομένως το p(x) είναι πολλαπλάσιο του x − a}. Αφού το p(x) είναι ανάγωγο, αυτό σημαίνει ότι p(x) = k(x − a), για κάποιο k ∈ F \ {0} . Από την άλλη πλευρά, αν το F δεν είναι αλγεβρικά κλειστό, τότε υπάρχει κάποιο μη σταθερό πολυώνυμο p(x) στην F[x] χωρίς ρίζες στην F. Έστω q(x) κάποιος ανάγωγος παράγοντας του p(x). Αφού το p(x) δεν έχει ρίζες στο F, το q(x) επίσης δεν έχει ρίζες στο F. Επομένως, το q'(x) έχει βαθμό μεγαλύτερο του ενός, αφού κάθε πολυώνυμο πρώτου βαθμού έχει μία ρίζα στο F.

Κάθε πολυώνυμο είναι γινόμενο πολυωνύμων πρώτου βαθμού

Το σώμα F είναι αλγεβρικά κλειστό αν και μόνο αν κάθε πολυώνυμο p(x) βαθμού n ≥ 1, με συντελεστές στο F, διασπάται σε γραμμικούς παράγοντες. Με άλλα λόγια, υπάρχουν στοιχεία k, x₁, x₂, ..., x_n του σώμτος F έτσι ώστε p(x) = k(x − x₁)(x − x₂) ⋯ (x − x_n).

Αν το F έχει αυτή την ιδιότητα, τότε είναι σαφές ότι κάθε μη σταθερό πολυώνυμο στο F[x] έχει κάποια ρίζα στο F, με άλλα λόγια, το F είναι αλγεβρικά κλειστό. Από την άλλη πλευρά, το ότι η ιδιότητα που αναφέρεται εδώ ισχύει για το F αν το F είναι αλγεβρικά κλειστό προκύπτει από την προηγούμενη ιδιότητα μαζί με το γεγονός ότι, για οποιοδήποτε σώμα K, κάθε πολυώνυμο στο K[x] μπορεί να γραφεί ως γινόμενο αναγώγων πολυωνύμων.

Τα πολυώνυμα πρώτου βαθμού έχουν ρίζες

Αν κάθε πολυώνυμο πάνω στο F πρώτου βαθμού έχει ρίζα στο F, τότε κάθε μη σταθερό πολυώνυμο έχει ρίζα στο F. Προκύπτει ότι ένα σώμα είναι αλγεβρικά κλειστό αν και μόνο αν κάθε πολυώνυμο πάνω από το F πρώτου βαθμού έχει ρίζα στο F.

Το σώμα δεν έχει κατάλληλη αλγεβρική επέκταση

Το σώμα F είναι αλγεβρικά κλειστό αν και μόνο αν δεν έχει κατάλληλη αλγεβρική επέκταση.

Αν το F δεν έχει κατάλληλη αλγεβρική επέκταση, έστω p(x) κάποιο ανάγωγο πολυώνυμο στο F[x]. Τότε το πηλίκο του F[x] modulo το ιδεώδες που παράγεται από το p(x) είναι μια αλγεβρική επέκταση του F της οποίας ο βαθμός είναι ίσος με τον βαθμό του p(x). Επειδή δεν είναι κατάλληλη επέκταση, ο βαθμός της είναι 1 και επομένως ο βαθμός του p(x) είναι 1.

Από την άλλη πλευρά, αν το F έχει κάποια κατάλληλη αλγεβρική επέκταση K, τότε το ελάχιστο πολυώνυμο ενός στοιχείου στο K \ F είναι ανάγωγο και ο βαθμός του είναι μεγαλύτερος από 1.

Το σώμα δεν έχει κατάλληλη πεπερασμένη επέκταση

Το σώμα F είναι αλγεβρικά κλειστό αν και μόνο αν δεν έχει κατάλληλη πεπερασμένη επέκταση, διότι αν, μέσα στην προηγούμενη απόδειξη, ο όρος «αλγεβρική επέκταση» αντικατασταθεί από τον όρο «πεπερασμένη επέκταση», τότε η απόδειξη εξακολουθεί να ισχύει. (Οι πεπερασμένες επεκτάσεις είναι αναγκαστικά αλγεβρικές).

Κάθε ενδομορφισμός του Fⁿ έχει κάποιο ιδιοδιάνυσμα

Το σώμα F είναι αλγεβρικά κλειστό αν και μόνο αν, για κάθε φυσικό αριθμό n, κάθε γραμμική απεικόνιση από το Fⁿ στον εαυτό του έχει κάποιο ιδιοδιάνυσμα.

Ένας ενδομορφισμός του Fⁿ έχει ένα ιδιοδιάνυσμα αν και μόνο αν το χαρακτηριστικό του πολυώνυμο έχει κάποια ρίζα. Επομένως, όταν το F είναι αλγεβρικά κλειστό, κάθε ενδομορφισμός του Fⁿ έχει κάποιο ιδιοδιάνυσμα. Από την άλλη πλευρά, αν κάθε ενδομορφισμός του Fⁿ έχει ένα ιδιοδιάνυσμα, έστω p(x) ένα στοιχείο του F[x]. Διαιρώντας με τον κύριο συντελεστή του, παίρνουμε ένα άλλο πολυώνυμο q(x) το οποίο έχει ρίζες αν και μόνο αν το p(x) έχει ρίζες. Αλλά αν q(x) = xⁿ + a_n − 1 x^n − 1 + ⋯ + a₀, τότε q(x) είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του n×n συνοδευτικού πίνακα.

${\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&-a_{0}\\1&0&\cdots &0&-a_{1}\\0&1&\cdots &0&-a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&-a_{n-1}\end{pmatrix}}.$

Αποσύνθεση λογικών εκφράσεων

Το σώμα F είναι αλγεβρικά κλειστό αν και μόνο αν κάθε ρητή συνάρτηση σε μια μεταβλητή x, με συντελεστές στο F, μπορεί να γραφεί ως άθροισμα μιας πολυωνυμικής συνάρτησης με ρητές συναρτήσεις της μορφής a/(x − b)ⁿ, όπου n είναι ένας φυσικός αριθμός, και τα a και b είναι στοιχεία του F.

Αν το F είναι αλγεβρικά κλειστό τότε, αφού τα ανάγωγα πολυώνυμα στο F'[x] είναι όλα βαθμού 1, η ιδιότητα που αναφέρεται παραπάνω ισχύει από το θεώρημα για τη μερική ανάλυση κλασμάτων.

Από την άλλη πλευρά, ας υποθέσουμε ότι η ιδιότητα που αναφέρθηκε παραπάνω ισχύει για το σώμα F. Έστω p(x) ένα ανάγωγο στοιχείο του F[x]. Τότε η ρητή συνάρτηση 1/p μπορεί να γραφεί ως το άθροισμα μιας πολυωνυμικής συνάρτησης q με ρητές συναρτήσεις της μορφής a/(x – b)ⁿ. Επομένως, η ρητή έκφραση

${\frac {1}{p(x)}}-q(x)={\frac {1-p(x)q(x)}{p(x)}}$

μπορεί να γραφεί ως πηλίκο δύο πολυωνύμων στα οποία ο παρονομαστής είναι γινόμενο πολυωνύμων πρώτου βαθμού. Δεδομένου ότι το p(x) είναι ανάγωγο, πρέπει να διαιρεί αυτό το γινόμενο και, επομένως, πρέπει επίσης να είναι πολυώνυμο πρώτου βαθμού.

Σχετικά πρώτα πολυώνυμα και ρίζες

Για οποιοδήποτε σώμα F, αν δύο πολυώνυμα p(x), q(x) ∈ F[x] είναι σχετικά πρώτοι, τότε δεν έχουν κοινή ρίζα, γιατί αν a ∈ F ήταν κοινή ρίζα, διότι αν a ∈ F ήταν κοινή ρίζα, τότε p(x) θα ήταν και τα δύο πολλαπλάσια του x − a και επομένως δεν θα ήταν σχετικά πρώτοι. Τα σώματα για τα οποία ισχύει το αντίστροφο συμπέρασμα (δηλαδή, τα σώματα τέτοια ώστε όποτε δύο πολυώνυμα δεν έχουν κοινή ρίζα τότε είναι σχετικά πρώτοι) είναι ακριβώς τα αλγεβρικά κλειστά σώματα.

Αν το σώμα F είναι αλγεβρικά κλειστό, έστω p(x) και q(x) δύο πολυώνυμα που δεν είναι σχετικά πρώτοι και έστω r(x) ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης τους. Τότε, επειδή το r(x) δεν είναι σταθερό, θα έχει κάποια ρίζα a, η οποία θα είναι τότε κοινή ρίζα των p(x) και q(x).

Αν το F δεν είναι αλγεβρικά κλειστό, έστω p(x) ένα πολυώνυμο του οποίου ο βαθμός είναι τουλάχιστον 1 χωρίς ρίζες. Τότε τα p'(x) και p(x) δεν είναι σχετικά πρώτοι, αλλά δεν έχουν κοινές ρίζες (αφού κανένα από αυτά δεν έχει ρίζες).

Άλλες ιδιότητες

Αν F είναι ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα και n είναι ένας φυσικός αριθμός, τότε το F περιέχει όλες τις n ρίζες της μονάδας, επειδή αυτές είναι (εξ ορισμού) τα n (όχι απαραίτητα διακριτά) μηδενικά του πολυωνύμου xⁿ − 1. Το σώμα που περιέχεται σε μια επέκταση που παράγεται από τις ρίζες της μονάδας είναι μια «κυκλωματική επέκταση», και η επέκταση ενός σώματος που παράγεται από όλες τις ρίζες της μονάδας ονομάζεται μερικές φορές « κυκλωματική κλειστότητα». Έτσι, τα αλγεβρικά κλειστά σώματα είναι κυκλωματικά κλειστά. Το αντίστροφο δεν ισχύει. Ακόμη και αν υποθέσουμε ότι κάθε πολυώνυμο της μορφής xⁿ − a διασπάται σε γραμμικούς παράγοντες δεν αρκεί για να διασφαλιστεί ότι το σώμα είναι αλγεβρικά κλειστό.

Αν μια πρόταση που μπορεί να εκφραστεί στη γλώσσα της λογικής πρώτης τάξεως είναι αληθής για ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα, τότε είναι αληθής για κάθε αλγεβρικά κλειστό σώμα με το ίδιο χαρακτηριστικό. Επιπλέον, αν μια τέτοια πρόταση ισχύει για ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα με χαρακτηριστικό 0, τότε όχι μόνο ισχύει για όλα τα άλλα αλγεβρικά κλειστά σώματα με χαρακτηριστικό 0, αλλά υπάρχει και κάποιος φυσικός αριθμός N τέτοιος ώστε η πρόταση να ισχύει για κάθε αλγεβρικά κλειστό σώμα με χαρακτηριστικό p όταν p > N.

Κάθε σώμα F έχει κάποια επέκταση η οποία είναι αλγεβρικά κλειστή. Μια τέτοια επέκταση ονομάζεται αλγεβρικά κλειστή επέκταση. Μεταξύ όλων αυτών των επεκτάσεων υπάρχει μία και μόνο μία (μέχρι ισομορφισμού, αλλά όχι μοναδικού ισομορφισμού) που είναι αλγεβρική επέκταση του F; και ονομάζεται αλγεβρικά κλειστή επέκταση του F.

Η θεωρία των αλγεβρικά κλειστών σωμάτων έχει απαλοιφή ποσοδεικτών.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου.
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Μορφοκλασματική διάσταση
• Ομοπαραλληλική γεωμετρία
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Αρχιμήδεια ιδιότητα
• Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Υπολογιστική ρευστοδυναμική
• Καμπυλότητα Γκάους
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Σώμα διασπάσεως
• Συνήθης διαφορική εξίσωση
• Γραμμική απεικόνιση
• Νοεροί υπολογισμοί

Βιβλιογραφία

• Bourbaki, N. (1 Δεκεμβρίου 2013). Algebra II: Chapters 4 - 7. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-61698-3. 
• Haskell, Deirdre· Hrushovski, Ehud (2008). Stable Domination and Independence in Algebraically Closed Valued Fields. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88981-0. 
• Grillet, Pierre Antoine (21 Ιουλίου 2007). Abstract Algebra. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-71568-1. 
• Kostrikin, Aleksej I.· Shafarevich, Igor Rostislavovich (Igor’ Rostislavovich) (1 Δεκεμβρίου 2013). Algebra I: Basic Notions of Algebra. Springer. ISBN 978-3-662-39643-8. 
• Hodges, Wilfrid (2 Μαΐου 1985). Building Models by Games. CUP Archive. ISBN 978-0-521-31716-0. 
• Hartshorne, Robin (19 Δεκεμβρίου 1977). Algebraic Geometry. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90244-9. 
• Brown, Scott Shorey (1978). Bounds on Transfer Principles for Algebraically Closed and Complete Discretely Valued Fields. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-2204-3. 
• Clader, Emily· Ross, Dustin (29 Μαΐου 2025). Beginning in Algebraic Geometry. Springer Nature. ISBN 978-3-031-88819-9. 
• Sūgakkai, Nihon (1993). Encyclopedic Dictionary of Mathematics. MIT Press. ISBN 978-0-262-59020-4. 
• Bhattacharya, P. B.· Jain, S. K. (25 Νοεμβρίου 1994). Basic Abstract Algebra. Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-64310-8. 

Παραπομπές

• Barwise, Jon (1978). «An introduction to first-order logic». Στο: Barwise, Jon, επιμ. Handbook of Mathematical Logic. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. North Holland. ISBN 0-7204-2285-X. 
• Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematic. 211 (revised third έκδοση). New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95385-4. MR 1878556. 
• Shipman, Joseph (2007). «Improving the fundamental theorem of algebra». Mathematical Intelligencer 29 (4): 9–14. doi:10.1007/BF02986170. ISSN 0343-6993. https://archive.org/details/sim_mathematical-intelligencer_fall-2007_29_4/page/8. 
• van der Waerden, Bartel Leendert (2003). Algebra. I (7th έκδοση). Springer-Verlag. ISBN 0-387-40624-7. 

• Lang, Serge (1993), Algebra (Third ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001
• Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2008), Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323 (Second έκδοση), Berlin: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-540-37889-1, ISBN 978-3-540-37888-4,  
• Rubin, Karl (1991), «The 'main conjectures' of Iwasawa theory for imaginary quadratic fields», Inventiones Mathematicae 103 (1): 25–68, doi:10.1007/BF01239508, ISSN 0020-9910,  
• Skinner, Chris; Urban, Éric (2010), The Iwasawa main conjectures for GL₂, σελ. 219, http://www.math.columbia.edu/%7Eurban/eurp/MC.pdf 
• Washington, Lawrence C. (1997), Introduction to cyclotomic fields, Graduate Texts in Mathematics, 83 (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94762-4, https://books.google.com/books?isbn=0-387-94762-0 
• Wiles, Andrew (1990), «The Iwasawa Conjecture for Totally Real Fields», Annals of Mathematics 131 (3): 493–540, doi:10.2307/1971468,  
• Rotman, Joseph (1998). Galois Theory. Universitext (Second έκδοση). Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0617-0. ISBN 0-387-98541-7. MR 1645586. 
• Völklein, Helmut (1996). Groups as Galois groups: an introduction. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 53. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511471117. ISBN 978-0-521-56280-5. MR 1405612. 
• van der Waerden, Bartel Leendert (1931). Moderne Algebra (στα German). Berlin: Springer. . English translation (of 2nd revised edition): Modern algebra. New York: Frederick Ungar. 1949.  (Later republished in English by Springer under the title "Algebra".)
• Pop, Florian (2001). «(Some) New Trends in Galois Theory and Arithmetic» (PDF). 

Πηγές

• Martin, George E. (1998). Geometric Constructions. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98276-0. Zbl 0890.51015. 
• Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022. 
• Efrat, Ido (2006), Valuations, orderings, and Milnor K-theory, Mathematical Surveys and Monographs, 124, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4041-X,  
• Elman, Richard; Lam, T. Y. (1972), «Quadratic forms over formally real fields and pythagorean fields», American Journal of Mathematics 94 (4): 1155–1194, doi:10.2307/2373568, ISSN 0002-9327 
• Greenberg, Marvin J. (2010), «Old and new results in the foundations of elementary plane Euclidean and non-Euclidean geometries», Am. Math. Mon. 117 (3): 198–219, doi:10.4169/000298910x480063, ISSN 0002-9890,  
• Iyanaga, Shôkichi; Kawada, Yukiyosi, επιμ.. (1980), Encyclopedic dictionary of mathematics, Volumes I, II, Translated from the 2nd Japanese edition, paperback version of the 1977 edition (1st έκδοση), MIT Press, ISBN 978-0-262-59010-5, https://archive.org/details/encyclopedicdict0000niho 
• Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1, , https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt 
• Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
• Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
• Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.