Συζυγής ανάστροφος πίνακας

Στην γραμμική άλγεβρα, συζυγής ανάστροφος πίνακας (ή αλλιώς Ερμιτιανός συζυγής πίνακας) ενός μιγαδικού πίνακα είναι ο ανάστροφος πίνακας του συζυγούς του. Πιο συγκεκριμένα, για τον πίνακα $A$ διαστάσεων $n\times m$, ο συζυγής ανάστροφος πίνακας $A^{H}$ είναι ο πίνακας διαστάσεων $m\times n$, ο οποίος ικανοποιεί

$(A^{H})_{ij}={\overline {A}}_{ji}$,

για κάθε $1\leq i\leq m$ και $1\leq j\leq n$. Επομένως,

$A^{H}=({\overline {A}})^{T}={\begin{bmatrix}{\overline {A}}_{11}&{\overline {A}}_{12}&\ldots &{\overline {A}}_{1n}\\{\overline {A}}_{21}&{\overline {A}}_{22}&\ldots &{\overline {A}}_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\overline {A}}_{m1}&{\overline {A}}_{m2}&\ldots &{\overline {A}}_{mn}\end{bmatrix}}.$

Για παράδειγμα, ο συζυγής του $A={\begin{bmatrix}(3+2i)&5\\(1-4i)&(7+2i)\end{bmatrix}}$ είναι ο $A^{H}={\begin{bmatrix}(3-2i)&(1+4i)\\5&(7-2i)\end{bmatrix}}$.

Ο συζυγής ανάστροφος συμβολίζεται και ως $A^{*}$ και $A^{\dagger }$ Η ονομασία Ερμιτιανός προέρχεται από τον Σαρλ Ερμίτ.

Παραδείγματα

• Παρακάτω δίνονται μερικά συγκεκριμένα παραδείγματα μιγαδικών πινάκων και ο συζυγής ανάστροφός τους:

$A={\begin{bmatrix}(3+2i)&(7-3i)&5i\\(9-2i)&10&(6-5i)\end{bmatrix}}\qquad A^{H}={\begin{bmatrix}(3-2i)&(9+2i)\\(7+3i)&10\\-5i&(6+5i)\end{bmatrix}}$

$B={\begin{bmatrix}(-5+2i)&(3-4i)\\(4-8i)&(5+3i)\\(1+3i)&(7-2i)\end{bmatrix}}\qquad B^{H}={\begin{bmatrix}(-5-2i)&(4+8i)&(1-3i)\\(3+4i)&(5-3i)&(7+2i)\end{bmatrix}}$

$C={\begin{bmatrix}(-5+7i)&(8+2i)&(1-i)\end{bmatrix}}\qquad C^{H}={\begin{bmatrix}(-5-7i)\\(8-2i)\\(1+i)\end{bmatrix}}$

• Για οποιονδήποτε πραγματικό πίνακα $A$, $A^{H}=A^{T}$.
• Για οποιονδήποτε φανταστικό πίνακα $A$, $A^{H}=-A^{T}$. Για παράδειγμα,

$A={\begin{bmatrix}3i&-6i\\7i&4i\end{bmatrix}}\qquad A^{H}={\begin{bmatrix}-3i&-7i\\6i&-4i\end{bmatrix}}$

Ιδιότητες

Συνδυάζοντας τις ιδιότητες του ανάστροφου πίνακα και τις ιδιότητες του συζυγούς πίνακα, έχουμε τις εξής ιδιότητες:

• Ο συζυγής ανάστροφος του συζυγούς ανάστροφου είναι ο αρχικός πίνακας, $(A^{H})^{H}=A$.
• Για τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό ενός μιγαδικού πίνακα $A$ με έναν μιγαδικό αριθμό $c\in \mathbb {C}$, $(cA)^{H}={\overline {c}}A^{H}$.
• Ο συζυγής ανάστροφος του άθροισμα δύο πινάκων $A$ και $B$ είναι το άθροισμα των συζυγών ανάστροφων, $(A+B)^{H}=A^{H}+B^{H}$.
• Ο συζυγής ανάστροφος του γινομένου δύο πινάκων $A$ και $B$ είναι το γινόμενο των συζυγών ανάστροφων, $(AB)^{H}=B^{H}A^{H}$.
• Το ίχνος του συζυγούς ανάστροφου ενός τετραγωνικού πίνακα είναι $\operatorname {tr} (A^{H})={\overline {\operatorname {tr} (A)}}$.
• Ο συζυγής ανάστροφος του αντίστροφου είναι ο αντίστροφος του συζυγούς ανάστροφου, $(A^{-1})^{H}=(A^{H})^{-1}$.
• Η ορίζουσα του συζυγή πίνακα είναι ο συζυγής της ορίζουσας, δηλαδή $\operatorname {det} (A^{H})={\overline {\operatorname {det} (A)}}$.

Σχετικές έννοιες

• Ερμιτιανός πίνακας Πίνακας ο οποίος ικανοποιεί $A=A^{H}$.
• Αντιερμιτιανός πίνακας Πίνακας ο οποίος ικανοποιεί $A=-A^{H}$.

Δείτε επίσης

• Ανάστροφος πίνακας
• Συζυγής πίνακας