Προσεταιριστική ιδιότητα

Στα μαθηματικά, η προσεταιριστική ιδιότητα είναι μία ιδιότητα που ικανοποιεί μία δυαδική πράξη, που λέει ότι η σειρά με την οποία εφαρμόζεται η πράξη δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα. Η πιο γνωστή τέτοια πράξη είναι η πρόσθεση στους φυσικούς αριθμούς, όπου για κάθε $x,y,z\in \mathbb {N}$ , ισχύει ότι^[1]^[2]^[3]

(x+y)+z=x+(y+z)

.

Για παράδειγμα, οι παρενθέσεις στις παρακάτω πράξεις δεν επηρεάζουν το τελικό αποτέλεσμα:

(5+2)+1 = 7 + 1 = 8

5+(2+1) = 5 + 3 = 8

Η ισότητα αυτή δεν εξαρτάται από τις συγκεκριμένες τιμές 5, 2 και 1 του παραδείγματος, αλλά ισχύει για όλους τους φυσικούς αριθμούς (και πιο γενικά για όλους τους πραγματικούς αριθμούς). Επομένως, λέμε ότι "η πρόσθεση πραγματικών αριθμών έχει την προσεταιριστική ιδιότητα". Αντίστοιχα, και ο πολλαπλασιασμός ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα, αλλά όχι η διαίρεση και η ύψωση σε δύναμη.

Πιο γενικά, για ένα σύνολο $S$ μία δυαδική πράξη $\oplus :S\times S\to S$ ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα αν για κάθε στοιχεία $x,y,z\in S$ ισχύει ότι

(x\oplus y)\oplus z=x\oplus (y\oplus z)

.

Παραδείγματα

Στους φυσικούς, τους ρητούς και τους πραγματικούς αριθμούς, οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού ικανοποιούν την ιδιότητα αυτή.
Στην θεωρία αριθμών, ο μέγιστος κοινός διαιρέτης καθώς και το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο αριθμών ικανοποιούν την προσεταιρτική ιδιότητα.
Στην γραμμική άλγεβρα, η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός πινάκων ικανοποιούν την προσεταιριστική ιδιότητα.^[4]
Σε κάθε ομάδα $(G,\cdot )$ , η δυαδική της πράξη $\cdot$ ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα.^[5]
H συνέλιξη $f*g$ δύο συναρτήσεων $f$ και $g$ ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα.^[6]^[7]
Σε κάθε διατεταγμένο σύνολο $S$ , η πράξη του μέγιστου $\max$ και του ελάχιστου $\min$ ικανοποιούν την προσεταιριστική ιδιότητα.
Στην λογική, η σύζευξη και η διάζευξη ικανοποιούν την προσεταιριστική ιδιότητα.^[8]
Στην θεωρία συνόλων, η

Αντιπαραδείγματα

Η διαίρεση δεν ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα. Για παράδειγμα,

(1000/20)/5=10

, ενώ

1000/(20/5)=250

.

Η ύψωση σε δύναμη δεν ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα. Για παράδειγμα,

(2^{3})^{4}=2^{12}

, ενώ

2^{(3^{4})}=2^{81}

.

Αποδοτικότητα

Πρακτικά αυτό εξυπηρετεί μερικές φορές π.χ. για να προσθέσουμε νοητά τους αριθμούς 5 + 4 + 5 + 10 + 2 με μεγαλύτερη ευκολία. Μπορούμε να σκεφτούμε «5 συν 5 συν 10 ίσον είκοσι» και «4 συν 2 ίσον έξι» επομένως το σύνολο είναι είκοσι έξι, αντί να μπλεχτούμε με πράξεις όπως 5 συν 4 ίσον 9 συν 5 ίσον 14 κλπ.

Στην πληροφορική, κάποιοι αλγόριθμοι εκμεταλλεύονται την προσεταιριστική ιδιότητα και αλλάζουν την σειρά των πράξεων ώστε να γίνει πιο αποτελεσματικά η εκτέλεσή τους. Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι ο αλγόριθμος για τον πολλαπλασιασμό αλληλουχίας πινάκων.^[9]

Πιο συγκεκριμένα, αν έχουμε τρεις πίνακες με μεγέθη $A:\mathbb {R} ^{10\times 30},B:\mathbb {R} ^{30\times 15},{\mathit {\Gamma }}:\mathbb {R} ^{15\times 5}$ , τότε με τον απλό αλγόριθμο πολλαπλασιασμού πινάκων

Πολλαπλασιάζοντας $(A\cdot B)\cdot {\mathit {\Gamma }}$ χρειάζεται $10\cdot 30\cdot 15+10\cdot 15\cdot 5=5250$ πολλαπλασιασμούς, ενώ
Πολλαπλασιάζοντας $A\cdot (B\cdot {\mathit {\Gamma }})$ χρειάζεται $30\cdot 15\cdot 5+10\cdot 30\cdot 5=3750$ πράξεις.

Επομένως, ο δεύτερος τρόπος είναι πιο αποδοτικός.

Δείτε επίσης

Παραπομπές

↑ Sterling, Mary Jane (12 Δεκεμβρίου 2018). Algebra II For Dummies. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-119-54310-7.
↑ Wishram, C. Sailaja, Smita Ratish, Lata. Understanding Mathematics. Vikas Publishing House. ISBN 978-93-5259-277-7.
↑ Publishing, Quantum Scientific (11 Ιουνίου 2023). Algebra 1, Vol. I: Lessons 1 - 45. Quantum Scientific Publishing.
↑ Χαραλάμπους, Χαρά Μυρτώ Αγάπη· Φωτιάδης, Ανέστης. Μια εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα. ISBN 978-960-603-273-8.
↑ Θεοχάρη Αποστολίδου, Θεοδώρα. Εισαγωγή στη θεωρία ομάδων. ISBN 978-960-603-334-6.
↑ Ασημάκης, Νικόλαος· Αδάμ, Μαρία. Σήματα και Συστήματα. σελ. 84. ISBN 978-960-603-116-8.
↑ Smith, Steven (22 Οκτωβρίου 2013). Digital Signal Processing: A Practical Guide for Engineers and Scientists. Elsevier. ISBN 978-0-08-047732-9.
↑ LaMeres, Brock J. (19 Μαρτίου 2019). Introduction to Logic Circuits & Logic Design with VHDL. Springer. ISBN 978-3-030-12489-2.
↑ Ιωάννης Τόλλης. «Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: Δυναμικός Προγραμματισμός» (PDF). Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών, Πανεπιστήμιο Κρήτης.

Αυτό το μαθηματικό λήμμα χρειάζεται επέκταση. Μπορείτε να βοηθήσετε την Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το.

[1] Sterling, Mary Jane (12 Δεκεμβρίου 2018). Algebra II For Dummies. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-119-54310-7.

[2] Wishram, C. Sailaja, Smita Ratish, Lata. Understanding Mathematics. Vikas Publishing House. ISBN 978-93-5259-277-7.

[3] Publishing, Quantum Scientific (11 Ιουνίου 2023). Algebra 1, Vol. I: Lessons 1 - 45. Quantum Scientific Publishing.

[4] Χαραλάμπους, Χαρά Μυρτώ Αγάπη· Φωτιάδης, Ανέστης. Μια εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα. ISBN 978-960-603-273-8.

[5] Θεοχάρη Αποστολίδου, Θεοδώρα. Εισαγωγή στη θεωρία ομάδων. ISBN 978-960-603-334-6.

[6] Ασημάκης, Νικόλαος· Αδάμ, Μαρία. Σήματα και Συστήματα. σελ. 84. ISBN 978-960-603-116-8.

[7] Smith, Steven (22 Οκτωβρίου 2013). Digital Signal Processing: A Practical Guide for Engineers and Scientists. Elsevier. ISBN 978-0-08-047732-9.

[8] LaMeres, Brock J. (19 Μαρτίου 2019). Introduction to Logic Circuits & Logic Design with VHDL. Springer. ISBN 978-3-030-12489-2.

[9] Ιωάννης Τόλλης. «Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: Δυναμικός Προγραμματισμός» (PDF). Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών, Πανεπιστήμιο Κρήτης.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]